乘法口诀表为什么要背？怎么背？（二）——何为理解式背诵

最新推荐文章于 2025-11-25 18:09:14 发布

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上一篇我们谈到了对小学算术这个领域的降维理解，并由此讨论了乘法口诀表要背的原因，详情请戳：

乘法口诀表为什么要背？怎么背？（一）——自顶向下解构小学算术

今天我们来看看乘法口诀表怎么背以及背后的学习方法。

理解式背诵的学习逻辑

单纯的乘法口诀背诵本质上可以和背一篇不理解意思的课文或唱一首听不懂歌词的歌类似，可以是纯口诀或音律式的背诵。但这种存储方式如果是在计算机里是十分可靠，而在人类大脑里实在是强人所难。首先它容易遗忘，这种习惯式的记忆链条如果不经常连通激活，是会自然丢失的。而怎么不遗漏和尽量不重复地高效激活则是个难题，总之其保持能力比硅做的硬盘差远了。其次容易出错，任何读音、近形的背诵内容都会因为其物理上记忆出来的相似性而自然混淆，这和写错别字的原理如出一辙。一不小心就多写了一横，少些了一点，像唱歌跑调串台一样也在所难免。

但是，那种要求在极端情况下能保证一定背下来，还真的需要靠这种不动脑子，机械式记忆来作底子。比如万人的演唱会，一生一次的高考中，是要求你哪怕只剩一口气，脑子空白，也要能背下来唱出来、写完的。

可这些还不够，这么背课文除了那默写的6分以外（有时候这点都拿不到），没有理解的基础，其他的题完全做不出；当脑子里口诀表的音律意外卡壳或突然混淆时，也没有其他的路径来想起或验证。而这些背诵的内容，包括后续那些竖式算法等，也完全没有数学的影子，顶多是算法的执行规则的记忆，和背诵的口诀也区别不大。

那怎么才能把口诀稳定地背好，同时不浪费这其中蕴含的数学探索训练呢？

没错，就是小标题提到的，理解式背诵。

这有两个好处。1是理解的过程本身，是对背诵过程背后真正的知识结构的进一步巩固和理解。因为这些内容足够基础，所以其能蕴含的底层知识的重要性是很高的，比刷上百道题的宽泛内容而言要重要得多。所以我们不要浪费了这个在完成背诵过程中，顺便巩固这个知识本身的性质、使用场景等所有能关联上的内容的学习机会。2是理解的推导过程能提供对背诵结果的多重校验以保证正确性。人脑比机器的劣势在于稳定性差，容易短路，遗忘，但强在能构建多重校验，底层深度理解，以在发生一些意外或者单纯就是不确定的遗忘中能够有别的更稳定的校验机制来保证想起来或进一步确认。所以这也成了人脑背诵稳定性达成的重要基础。

放大来看，任何知识的学习都是建立在理解+背诵的模式上，才能中庸地达成最好的效果。如果只有背诵，那人脑天然不适合完成这项工作，于资源适配角度讲显然应该外包给计算机，而只有背诵内容的考试自然也是于学生能力考查而言不合格的。只是背的话也会像计算机一样，没了人的操作也根本完不成有人类意义的事情。如果只有理解呢？理论上确实可行，把背诵的任务都教给查表或者计算机。但问题是，这样的查找既容易出错，而且还慢，使得理解在人脑的运行变得不可靠和效率低下，甚至脑子自己都不放心。而且，人脑的抽象理解认知本就是建立在大量熟悉的实例上的，接着才是抽象出来的规则和所谓理解。没了底层的这个样本堆积，纯填鸭进去的理解也和死记硬背一样容易忘记。并且，脑子天然也抗拒这种外界强行灌输的内容，因为它们并非来自自己的总结，就像不是亲儿子一样。那些所谓抽象能力强的数学天才，应该也只是早就快速地积累够了低层的样本积累，你看到的抽象它认为司空见惯了而已，也并不是直接跳过的。

因此，均衡，或者说中庸之道依旧适用于大部分内容的学习。既不能死记硬背，毫无理解基础上的泛化能力，又不能只有抽象理解，以至于效率低下，不切实际，缺乏实际案例支撑而稳定。二者结合，互为印证，方为学习这条路最高效的方向。

我背诵乘法口诀表的辅助理解

那乘法口诀表到底怎么背？怎么理解式地背呢？

这些东西，老师和我，都只能给与一些参考和引导的帮助，这些大量的理解过程，方式方法，得由你自己去抱着一颗积极思考的心去做。因为如果直接抄了我的答案或者哪本书的结论，这又成了没有留下逻辑痕迹的背诵内容，迟早又会因为缺乏基础支持而混乱和以往。

所以我鼓励你自己尝试去理解和记忆，看看能把怎样的数学知识揉进乘法口诀表的背诵中。

当然你的想好以后，我也愿意把我得分享给你，作为参考。

这里有部分是回忆的我当年的真实思路和老师教的一些内容，有的择时根据我现在的知识结构和视角重构的，部分思路过于抽象不适合直接教给孩子，不过可以作为底层原理参考着渗透给他。

你可以看看自己的理解过程还有我的，看看有没有达成在背诵过程中巩固了四则运算的知识理解和多重校验保证结果正确性的理解式记忆的好处。

首先，0和任何数相乘都为0，这个蕴含着从“没有”开始的自然数的含义以及乘法简便运算的意义，先剔除这10 * 2 - 1 = 19组（容斥原理）有明确法则的内容，实际乘法口诀表也不包含这些条；

0. 乘法交换律：9 * 9的上三角部分不用背了，瞬间81组只剩下45组，取其按大小排列的二元组为代表即可，或对称的行列任取一个或取一个对角线一侧折线；

1. 1是幺元：结果和另一个乘数相同，不用背；

2. 2乘以0-10的结果是0-20之间的偶数，其中0剔除后1-4取2468为10以内的偶数表（奇偶性），5得10为进制数位，后续的6-9同1-4，剔除5后多一个十位的1即为所求（分配律）；

3. 3的结果在30以内，每段内各3个数，10以内的369背熟，后面的每+10都要减1（恒等式，10进制数性质），得1+258,2+147，还可以看各位和为3的倍数校验，不过到后期，这些数基本熟练到死记都记下来了；

4. 4是两个2的结果，超过5的部分多加20即为所求，剩余按2 * 2拆解即可（恒等式、结合律）；

5. 5是进制位值10的一半，看除以2的结果即为所求（恒等式，10进制数特性），如果是奇数，尾数添加5（奇偶性）；

6. 6是两个3的结果，超过5多30，同4转为2理；

7. 7已经很大了，根据0，需要背的只有77,78,79了，77是平方数，可联合一起记忆，其余还有8和9兜底；

8. 8是两个4的结果，可以5的40为分界，同4转为2理，但有点繁琐了，也可以记住2的对应次幂数，8,16,32,64,3是16+8,5和7是32和64+/-8,6是32+16,9是64+8（二进制编码）；

9. 9除了1以外，后续每多1，十位+1，个位-1，直到81，两位数和都是9（十进制数），这些根据交换律都有结果，校验即可；

10. 平方数单独死记硬背，作为校验节点辅助校验；

顺便再补充一下10以内的加法表的背诵思路。

1. 死记0-9这10个数的前后关系，包括正数和倒数。（这本质上也是印度人发明的规律，历史文化而已，给学习是造成了困难的，但得接受）；

2. 接着所有数字x的分解都从0+x开始，两个数逐步各自+-1，获得下一组，直到两个数相等了或者差距为1停止；（偶数会到达相等，奇数会差1）

3. 剩下的还有一半不到的分解用交换率得到；（分解时两个数都得在脑海里才能够查得到）

4. 有了+-1的感觉后，逐步记忆+-2，+-3的结果，最后多重校验，完成10以内所有数的拆分交叉校验的记忆，比如和+-1的结果要在某个加数上+-1，+-2了则可以各自+-1或者某个数+-2来推导等；（脑海里可以恢复其数量较少时的量，也可以用+-y的逻辑拆分，到后期则直接闪现记忆结果。）

当然，这些零散的过程谁也没法保证一直记得，我也没法恢复我记忆的每一个细节。但是因为足够多的练习和经验的积累，就会积累出所谓的数感。即对于计算结果的逻辑和经验双重的验证，以能快速地发现问题和计算结果，并因为多重校验的存在，在计算量大和有陷阱的情况下，仍然保证超高的准确率。

以上就是我从乘法口诀表为什么要背，以及怎么背的问题出发，扩展到关于理解式背诵的学习方法以及小学算术的理解的全部内容，下期见！

我们是谁：

MatheMagician，中文“数学魔术师”，原指用数学设计魔术的魔术师和数学家。既取其用数学来变魔术的本义，也取像魔术一样玩数学的意思。文章内容涵盖互联网，计算机，统计，算法，NLP等前沿的数学及应用领域；也包括魔术思想，流程鉴赏等魔术内容；以及结合二者的数学魔术分享，还有一些思辨性的谈天说地的随笔。希望你能和我一起，既能感性思考又保持理性思维，享受人生乐趣。欢迎扫码关注和在文末或公众号留言与我交流！