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在前面两讲中，我们已经介绍完了Gilbreath Principle的相关内容，包括First和Ultimate两条原理，以及Gilbreath Shuffle的定义。相关内容请戳：
Gilbreath原理中的数学与魔术（二）——Ultimate Gilbreath 原理 & Mandelbrot 集合
Gilbreath原理中的数学与魔术（一）——Gilbreath Shuffle & First Principle
从这篇开始我们进入魔术讲解部分，今天我们先看一个Gilbreath First Principle最基础，也是最经典的一个应用。
红黑洗牌分离魔术
先上视频。
视频1 红黑洗牌分离魔术
魔术来源
这个作品我第一次见到，是在Martin Gardner的书《从惊讶到思考——数学悖论奇景》，里面我看到了很多不可思议的数学故事，比如巧克力面积消失等等。当年由于是中译本，没太注意原作者是谁，后来了解了马丁加德纳，科学美国人，还有G4G的盛会，偶然的回忆才想起来这本书才发现，原来是我们都在马丁老师的影响之下，在爱上趣味数学。后来，在《Magical Mathematics》等著作中也经常见到这个作品。其基本原理便是Magnetic Color Principle，其实是Gilbreath First Principle在周期为2，以红黑色来表达时候的特例了。
数学原理
根据前面Gilbreath First Principle的内容，如果把这个红黑间隔的序列洗乱以前第一叠牌进行数牌或者倒转，倒是也是基本性质，但关键在于，为什么这里可以跳过这一步也成立呢？在洗牌前中必须要求切出的两叠牌底牌颜色不相同又是为何，如果相同了会有什么后果，能补救吗？
小时候，没有这些更加抽象的思维能力，于是直接仔细思考剖析了这个过程的机理。因为Riffle Shuffle的本质是每次从两边掉下来一张，那么第一次可以不妨设掉下来的是红色，那么接下来，不管哪一侧，都是黑色的牌，当掉下来以后，又会呈现一黑一红的情景，根据前面的分析，自然接下来的两张结果是红黑或者黑红的序列了。这个规律会一直成立，并递归到一侧没有牌为止，剩下的则自然是原序列按照红黑排列的结果。
这么分析也没错，只是这仅仅是就事论事而已，没有透彻分析出普适的数学本质。但我们不妨换个角度看，如果能够说明，切出的牌叠和数出的等张数的牌叠之间在红黑性质上相等，那问题就化归为Gilbreath principle本身的性质了。而我们知道，他们之间是x，与R（x）的关系，R是倒转操作，是个对称操作，有RR（x） = x。但这里，我们需要的要求是R(x) = x，即x得是R操作的不动点。那只有一种可能，就是序列x本身是个对称序列，或者叫回文，满足x[i] = x[n - 1 - i]，n是x序列的长度。
我的天，一个有限长度序列可能既是周期序列，又是对称序列吗？
当然是有可能的而且这是一类序列，我们称为对称周期序列，还有一个特例为为循环周期序列。
对称周期序列
我们来形式化描述一下这种序列的性质。对于一个定义在[0, a]上的函数f(x)，对称即f(x) = f(A - x)，一个有限长周期内的对称仅能关于定义域的对称点x = a / 2对称；周期即f(x) = f(x + T)，T = A / n，n为周期个数。n可以是大于1的实数，这种包含非完整周期，除不尽的序列，满足周期表达式，仍然是有限长周期序列，加上对称称为对称周期序列；若n为整数，则是循环序列，满足f(x) = f((x + T) % A)，真正的是关于切牌T张有不变性的排列群，称为循环周期序列。
我们先来看n为整数的循环周期序列情况，当x in [0, T]，有f(x) = f(A - T + x) = f(A - (A - T + x)) = f(T - x)，即在每个周期局部内，本身就有轴对称性。而当n个这样的周期拼成的长度为A的周期函数时，也很容易证明其必有对称性，且n为奇数时，对称轴在中间那个周期的中间，n为偶数时在分界处。
如果是离散序列也同理，不过得当周期数是奇数，而且周期长度也是奇数的时候，对称轴才会在整数点的定义域上，否则都是在0.5分位上。
然而Magnetic Color Principle恰好是n不为整数的情况。属于离散序列，周期长度为2，最后还多了半个周期，神奇的是这种情况下依然可以保持周期性和对称性同在，是对称周期序列的情况，我们来详细看看。
仍然先看连续的情况。假设T = m / n * A，其中m < n且均为正整数，否则整个长度为A的定义域都不够一个周期，那就不能叫周期序列了。我们来看第一个周期的范围[0, T]应该满足的性质。
显然，这一大段T长度的函数无法直接平移到A区间的末尾，因为最后一个周期的有效长度只有A - [n / m]T = {n / m}T，那就看这一段好了。根据周期性和对称性，我们有：
f(x) = f([n / m]T + x) = f(A - [n / m]T - x), x in [0, {n / m}T]
于是等号最左右两侧的结果表示，函数在第一个周期的前面这一小段上，有对称轴x = {n / m}T / 2。
那么这个周期上还剩下[{n / m}T, T]这一段，这段在最后一个不完整周期上没有对应，那只能找前一个周期，即[([n / m] - 1)T, [n - m]T]，同理有：
f(x) = f(([n / m] - 1)T + x) = f(A - ([n / m] - 1)T - x), x in [{n / m}T, T]
这个式子告诉我们，在第一个周期的后半段，也是一个轴对称的图形，对称轴也自然是x = (A - ([n / m] - 1)T) / 2 = ({n / m}T + 1) / 2。
这样一来问题就很清楚了，对于存在非完整周期的周期序列，如果还想有对称性，那就要求其周期T被切为{n / m}T以及(1 - {n / m})T的部分，这两部分分别是轴对称图形，把这个周期延拓出去，最后不足一个周期的部分恰好是前半段，很容易看到这个条件和是对称图形等价。
那离散序列的非完整周期函数对称条件也就显而易见了，需要把周期点数T切为{n / m}T和(1 - {n / m})T的部分，只不过这里还要求m | T，使得这两个式子是整数，然后各自内部保持对称性，井水不犯河水。
于是我们这个魔术，其实就是这种非循环完整有限长离散周期序列长度为2的特例，2的长度也只能被切分成两个1，而长度为1的序列显然对称，所以这里可以是红黑，奇偶，是否大于7等任意两个性质，随便来！
所以搞清楚原理就很好创新了，比如有否可能构造出长度更长的不同切分方式的周期加对称序列来？比如长度为5，切为2+3，那就是11232为周期，长度是5n + 2即可。这样看起来显然不如1+1的对称周期序列那样灵活，错误调整也不如它那么直观容易，不过依然有补救措施，我们还是得看这么做性价比到底如何，可以后面有机会再看。
我原来以为应该很简单的事实背后，居然还是藏着这么隐秘的规律，实在是令人震惊！
回到这个魔术以及Magnetic Color Principle了，所谓底牌颜色不同，因为本身两叠的顶底牌颜色就不同，因此结局就是每叠各自的顶底颜色都相同，自然是奇数张牌，n个整周期外还多了一张，所以此时两叠牌都可以随意的数或者翻转，都是对称序列。假设底牌颜色相同，其实问题也不大，想象成先掉落一张，无论哪一侧，那么那一侧的牌就对称了，自然又符合了规律。因此只需要把洗完以后的顶牌移动到底牌处，一切就完好如初了。哪怕这叠牌本身就有多1张红色的不完整周期，按照上面的规律，还是可以在给定的匹配的2张范围内拿到Gilbreath First Principle的结果，注意了，Gilbreath First Principle本身并没有要求周期序列性以及完整性，那些是为了呈现其性质加上去的。
魔术原理
表演方面，其核心就是怎么去利用这个Gilbreath Permutation的性质了。当然最直接的是直接打开给观众看，这就会像是个智力测验了，因此一般都有依次发两叠的操作，把这个周期内的集合属性变成两叠牌的对应关系。我最开始的表演方式是取一部分偶数张牌之后，发现其红黑相等的巧合现象，但是这个效果不强烈，也看到过把两叠牌依次分开以后，用其中一叠的红黑暗中来帮助判别另一叠红黑的效果。不过我最后的版本借鉴的是镜像操作这一概念，让观众学着我的动作镜像操作，最后真的达成一样的颜色区分效果。当然这里有一个很trick的操作，就是把原本红对应黑和黑对应红的内容，通过旋转，看起来成了各自直接匹配，这一点小小的变化，使得整个效果更加完美了。
下期我们会接着看Gilbreath First Principle更加深入的应用，视频先奉上，下期不见不散！
视频2 红黑匹配的赌博
视频3 红黑张数相等
我们是谁：
MatheMagician，中文“数学魔术师”，原指用数学设计魔术的魔术师和数学家。既取其用数学来变魔术的本义，也取像魔术一样玩数学的意思。文章内容涵盖互联网，计算机，统计，算法，NLP等前沿的数学及应用领域；也包括魔术思想，流程鉴赏等魔术内容；以及结合二者的数学魔术分享，还有一些思辨性的谈天说地的随笔。希望你能和我一起，既能感性思考又保持理性思维，享受人生乐趣。欢迎扫码关注和在文末或公众号留言与我交流！
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