6、矩阵对角化：理论、方法与应用

矩阵对角化：理论、方法与应用

1. 对角化基础

在矩阵理论中，对角化是一个重要的概念。对于一个 $n\times n$ 矩阵 $A$，如果它可以分解为 $A = PDP^{-1}$ 的形式，其中 $P$ 是一个非奇异矩阵，$D$ 是一个对角矩阵，那么我们称矩阵 $A$ 是可对角化的。但并非所有矩阵都是可对角化的，在深入探讨对角化之前，我们需要了解一些预备知识。

特征多项式是对角化理论中的一个关键概念。对于矩阵 $A$，函数 $\varphi(\lambda) = \det(A - \lambda I)$ 被称为矩阵 $A$ 的特征多项式，其中 $\lambda$ 是一个标量。而方程 $\varphi(\lambda) = 0$ 则被称为矩阵 $A$ 的特征方程。需要注意的是，有些书籍使用 $\varphi(\lambda) = \det(\lambda I - A)$ 作为特征多项式，但由于 $\det(\lambda I - A) = (-1)^n\det(A - \lambda I)$，所以 $\varphi(\lambda) = 0$ 和 $\det(A - \lambda I) = 0$ 的解是相同的。

下面的引理表明，特征多项式在考虑重数的情况下有 $n$ 个根。
引理 3.2 ：矩阵 $A$ 的特征多项式是一个 $n$ 次多项式。
证明 ：设 $B = A - \lambda I$，沿着第一行展开 $\det B$ 会从展开式的所有余子式的子矩阵中消除第一行。继续沿着第一行展开这些子式，会从新的余子式的所有子矩阵中消除矩阵 $A$ 的第二行。以此类推，我们可以得到 $\de