1、矩阵理论与应用基础入门

矩阵理论与应用基础入门

1. 复数基础回顾

在深入矩阵理论之前，先来回顾一下复数的相关知识。复数通常写成(a + bi)的形式，其中(a)是实部，(b)是虚部，(i = \sqrt{-1})。若虚部(b = 0)，则该复数可直接写成实数(a)。由于复数满足交换律，所以也可写成(a + ib)。

复数可以在复平面上表示，通过在实轴（(x)轴）上找到(a)，在虚轴（(y)轴）上找到(b)，然后在点((a, b))处绘制(a + bi)。

复数的运算规则与实数类似，但需利用(i^2 = -1)进行化简。例如：
((2 + 3i)(4 + 5i) = 2×4 + 2×5i + 3i×4 + 3i×5i = 8 + 10i + 12i - 15 = -7 + 22i)

若(z = a + bi)，其共轭复数为(\overline{z} = a - bi)。经计算可知，若(w = c + di)，则(z + w = \overline{z} + \overline{w})且(zw = \overline{z}\overline{w})。

由于(z\overline{z} = a^2 + b^2)是实数，我们可以通过将分数的分子和分母同时乘以分母的共轭复数来化简分数。例如：
(\frac{3 + 2i}{4 + 5i} = \frac{(3 + 2i)(4 - 5i)}{(4 + 5i)(4 - 5i)} = \frac{22 - 7i}{41} = \frac{22}{41} - \frac{7}{41}i)

复数(z)的绝对值（也称为模）为(\vert z\vert = \sqrt{a^2 + b^2})，在复