6、信号处理中的傅里叶分析与滤波器设计

信号处理中的傅里叶分析与滤波器设计

1. 帕塞瓦尔定理及相关问题

帕塞瓦尔定理表明，信号在时域和频域的能量是相等的，其表达式为：
$E_x = \sum_{n = 0}^{N - 1} |x[n]|^2 = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} |X[k]|^2$

下面通过一个例子来应用该定理：
例 3.10 ：对于$x[n] = \cos(\frac{2\pi}{4}n)$，$N = 4$，计算时域和频域的能量。
- 时域能量计算 ：
$E_x = \sum_{n = 0}^{3} |x[n]|^2 = 1 + 0 + 1 + 0 = 2$
- 频域分布及能量计算 ：
$X[k] = \sum_{n = 0}^{3} x[n]e^{-j\frac{2\pi}{4}kn} = 1e^{-j\frac{2\pi}{4}k0} + 0e^{-j\frac{2\pi}{4}k1} - 1e^{-j\frac{2\pi}{4}k2} + 0e^{-j\frac{2\pi}{4}k3} = 1 - (-1)^k = 2\delta[k - 1] + 2\delta[k - 3]$
$E_x = \frac{1}{4} \sum_{k = 0}^{3} |X[k]|^2 = \frac{1}{4} (4 + 4) = 2$

由此可见，为了计算方便，我们可以在时域或频域中任选一个来计算信号的能量。

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