11、平衡树：构建高效的树结构

平衡树：构建高效的树结构

1. 平衡树的简介

平衡树是一种特殊的树结构，旨在通过动态调整节点的位置，确保树的高度始终保持在较低水平。这种特性使得平衡树能够在 (O(\log N)) 时间内完成搜索、插入和删除等操作，从而大幅提高性能。平衡树的应用广泛，尤其在数据库系统中，它们被用来高效地存储和检索大量数据。

平衡树的关键在于其能够自我调整的能力，以防止树的高度变得过高，进而影响操作效率。虽然这些树不一定完全平衡，但它们的设计使得树的高度在合理的范围内波动，从而保证了高效的遍历和操作。

2. AVL树

AVL树是一种排序二叉树，其核心特点是任意节点的两个子树高度差不超过1。这种特性使得AVL树在插入和删除节点时需要进行一定的平衡操作，以确保树的高度差始终满足条件。AVL树的命名来源于其发明者G.M. Adelson-Velskii和E.M. Landis，他们在1962年首次提出了这一概念。

2.1 AVL树的插入操作

插入新节点的基本策略是递归地遍历树，直到找到合适的位置。随着递归的展开，程序会在返回根节点的过程中更新每个节点的平衡因子。如果发现某个节点的平衡因子超出范围（小于-1或大于+1），则需要通过旋转操作来重新平衡树。

旋转操作

根据新节点的位置，旋转操作分为四种情况：

• 左左情况 ：新节点位于左子节点的左子树中，通过右旋转重新平衡。
• 右右情况 ：新节点位于右子节点的右子树中，通过左旋转重新平衡。