7、密码学中的数学基础与算法应用

密码学中的数学基础与算法应用

1. 有限域基础

有限域在密码学中有着广泛的应用。我们可以考虑 (n = p^m) 的情况，其中 (p) 是素数，(m) 是正整数，但解释其原理的数学过程较为复杂，这里暂不深入探讨。

以 ((\mathbb{Z}_7, +, \times)) 为例，来检验其是否满足有限域的性质。普通的模 7 加法和乘法按预期工作，我们只需确保除 0 以外的每个元素都有乘法逆元。可以很容易地验证：
- (1 \times 1 \equiv 1 \pmod{7})
- (2 \times 4 \equiv 1 \pmod{7})
- (3 \times 5 \equiv 1 \pmod{7})

因此，除 0 以外的所有元素都有乘法逆元，所以 ((\mathbb{Z}_7, +, \times)) 是一个有限域。有限域也被称为伽罗瓦域，主要的整数伽罗瓦域通常缩写为 (GF(n) = ({0, 1, \ldots, n – 1}, +, \times))，其中 (n) 是整数。

2. 有限域中的乘法逆元计算

在有限域 ((\mathbb{Z}_p, +, \times)) 中，如何计算乘法逆元呢？可以使用欧几里得算法。该算法最初并非为解决此问题而设计，而是用于计算两个整数的最大公约数。

假设我们要找到 (a) 在模 (p) 下的乘法逆元 (a^{-1})，即满足 (a \times a^{-1} \equiv 1 \pmod{p})，等价于 (a \times a^{-1} = 1 + kp)，其中 (k) 是某个整数。

欧几里得算法的步骤如下：
1.