6、数值方法与MATLAB应用：三次样条求解、动画制作及常微分方程理论

数值方法与MATLAB应用：三次样条求解、动画制作及常微分方程理论

1. 三次样条求解器

1.1 理论基础

三次样条求解器的核心在于构建并求解一个线性系统以确定样条函数的系数。在构建过程中，我们需要满足一系列条件，如函数值连续性、一阶导数连续性和二阶导数连续性。具体而言，条件 $S’‘ j (x {j+1}) = S’‘ {j+1}(x {j+1})$ 可转化为 $6d_jh_j + 2c_j - c_{j+1} = 0$，这一条件由代码中第19行构建的子矩阵来保证。

1.2 代码实现

以下是一个用于求解三次样条系数的MATLAB函数：

function C = spline3(x, y, y0p, ynp)
    n = length(x) - 1;
    h = x(2:end) - x(1:end-1); hn = h(end);
    t1 = [1 zeros(1,n-1)];
    tn = [zeros(1,n-1) 1];
    I1 = spdiags(ones(n-1,1),1,n-1,n);
    H = spdiags(h,0,n-1,n);
    D = (H~=0) - I1;

    % build 4n x 4n LHS matrix
    L = [
        kron([0 0 0 1],t1); % (1) S(x0) = y0 = f(a)
        kron([0 0 0 1], I1); % (n-1) S(xk) = yk = f(xk)