12、大规模系统的鲁棒性控制方法解析

大规模系统的鲁棒性控制方法解析

1. 引言

在20世纪80年代，鲁棒性成为控制理论领域备受关注的问题。一方面，状态空间框架下的控制器综合存在实际困难；另一方面，工业上持续成功地使用低阶模型设计（PID）控制器来控制高度复杂的过程，这些控制设计往往对工厂不确定性具有内在的鲁棒性。本文将介绍应用于大规模系统的系统/控制器结构和交互的鲁棒性相关主题。

2. 奇异值分析

奇异值（或主增益）在线性多变量系统的分析中具有重要作用，其特性有助于研究系统的稳定性和鲁棒性。

2.1 奇异值的数学定义

矩阵 $M$ 的奇异值 ${\sigma_i}$ 定义为 $M^ M$ 特征值的正平方根，即：
$\sigma_i(M) = [\lambda_i(M^ M)]^{1/2}$

最大和最小奇异值分别定义为：
$\sigma_{max}(M) \triangleq \max_{|x|=1} |Mx| = [\lambda_{max}(M^ M)]^{1/2}$
$\sigma_{min}(M) \triangleq \min_{|x|=1} |Mx| = [\lambda_{min}(M^ M)]^{1/2}$

其中 $|\cdot|$ 是欧几里得范数，$\lambda(\cdot)$ 表示矩阵特征值。奇异值与特征值之间存在如下关系：
$\sigma_{min}(M) \leq |\lambda_i(M)| \leq \sigma_{max}(M)$

2.2 条件数

条件数定义为：