27、信号处理中的时频分析与小波变换

信号处理中的时频分析与小波变换

1. 短时傅里叶变换（STFT）的时频采样

在信号处理中，短时傅里叶变换（STFT）是一种重要的时频分析工具。当以采样率 $\omega_s = 2\pi$ 对信号的傅里叶变换（FT）进行采样时，我们可以从这些样本中恢复 $x(t)v(t)$，这类似于有限时长波形 $x(t)v(t)$ 的傅里叶级数。通过将窗口逐次移动整数（即 $T_s = 1$），我们可以从 STFT 中恢复 $x(t)$ 的连续片段，在频域中的样本间距为 $\omega_s = 2\pi$。

选择 $T_s = 1$ 和 $\omega_s = 2\pi$（即 $\omega_sT_s = 2\pi$）会得到一个 STFT $X_{STFT}(k\omega_s, nT_s)$，从中我们可以重构所有 $t$ 时刻的 $x(t)$。此时，函数 $g_{kn}(t)$ 为：
[g_{kn}(t) = v(t - n)e^{jk\omega_st} = v(t - n)e^{j2\pi kt}]

由于窗口的逐次移动不重叠，对于不同的 $n$ 值，函数 $g_{kn}(t)$ 是正交归一的；对于不同的 $k$ 值，函数同样是正交归一的。总结来说，图 6.31 中的矩形窗口，在时频采样时长 $T_s = 1$ 和 $\omega_s = 2\pi$ 的条件下，为 $L^2$ 函数生成了一个正交归一的 STFT 基。

1.1 时频采样密度与框架和正交基的关系

假设 $v(t)$ 被归一化为具有单位能量，即 $\int |v(t)|^2 dt = 1$，使得对于所有的 $k$ 和 $n$，$|g_{kn}(t)| = 1$。如果要求 $g