20、小波变换：原理、优势与应用

小波变换：原理、优势与应用

1. 引言

在科学和工程的众多领域中，傅里叶变换、拉普拉斯变换和 z 变换等变换技术早已得到广泛应用。然而，在许多需要同时呈现时间 - 频率信息的应用场景中，我们需要考虑其他类型的变换或时频表示方法。小波变换技术相较于短时傅里叶变换等其他时频表示方法，具有独特的优势。

1.1 小波变换与滤波器组的联系

小波变换的一个子类与数字滤波器组理论密切相关。滤波器组在信号处理领域已被研究了 30 多年，这种联系使得我们能够系统地构建具有多种理想特性的小波，如紧支撑性（有限时长）、平滑性、良好的时频定位以及基正交性。

1.2 多分辨率理论的作用

小波与滤波器组的联系在多分辨率理论中得到了完美的数学表达。多分辨率理论使我们能够使用快速小波变换（FWT）来计算小波变换系数，FWT 本质上是一种树状结构的滤波器组。此外，小波变换的理论和发展为信号处理、电路理论、通信和数学等多个学科的深入研究成果提供了统一的框架。

1.3 讨论范围和大纲

由于小波相关的文献资料极为丰富，我们将讨论范围限制在基础核心内容。同时，为了帮助读者理解一些较为高深的小波研究成果，我们会对相关的数学知识进行较为全面的回顾。

1.4 常见问题：为什么选择小波？

“为什么选择小波？”是一个常见的问题，即小波相较于傅里叶变换等其他变换技术有哪些优势。这个问题的答案较为复杂，且取决于我们探讨的层面。后续内容将分散讨论这个问题。

1.5 通用符号和缩写

以下是一些通用的符号和缩写说明：
|符号或缩写|含义|
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