17、正定（半）定矩阵与幂等矩阵的深入剖析

正定（半）定矩阵与幂等矩阵的深入剖析

在矩阵理论中，正定（半）定矩阵和幂等矩阵是非常重要的两类矩阵，它们在众多领域都有着广泛的应用。下面我们将详细探讨它们的相关性质和定理。

一、分块矩阵与正定（半）定矩阵

1. 块对角矩阵的正定性
   • 对于矩阵 (Z = \begin{pmatrix} A & O \ O & D \end{pmatrix})，它是正定（半）定的当且仅当 (A) 和 (D) 都是正定（半）定的。
   • 证明过程：矩阵 (Z) 正定的充要条件是对于所有不全为零的向量 (x) 和 (y)，有 (x’Ax + y’Dy > 0)。这等价于对于所有非零向量 (x)，(x’Ax > 0)，以及对于所有非零向量 (y)，(y’Dy > 0)，即 (A) 和 (D) 正定。对于半正定的情况，证明方法类似。需要注意的是，若 (A \geq O) 且 (D > O)，则 (Z \geq O)，但 (Z) 不一定大于 (O)。
2. 块交换矩阵的正定性
   • 对于矩阵 (\begin{pmatrix} A & B \ B’ & D \end{pmatrix} > O) 当且仅当 (\begin{pmatrix} D & B’ \ B & A \end{pmatrix} > O)。
   • 证明过程：设 (x) 和 (y) 是任意合适维度的向量，则 ((x’, y’)\begin{pmatrix} A