10、矩阵运算：分块矩阵与系统方程的深入剖析

矩阵运算：分块矩阵与系统方程的深入剖析

1. 分块矩阵与扫描算子

扫描算子在矩阵运算中有着重要的应用，它能帮助我们对矩阵进行特定的变换和求解。

1.1 简单扫描算子

考虑一个 2×2 矩阵 (A = \begin{bmatrix}a & b \ c & d\end{bmatrix})。
- 计算 (A^{(1)}) : 根据扫描算子的定义，(A^{(1)} = SWP(A, 1) = \begin{bmatrix}-\frac{1}{a} & \frac{b}{a} \ \frac{c}{a} & d - \frac{bc}{a}\end{bmatrix})，其定义的条件是 (a \neq 0)。
- 计算 (A^{(2)}) : 对 (A^{(1)}) 应用扫描算子，(A^{(2)} = SWP(A^{(1)}, 2) = \frac{-1}{ad - bc}\begin{bmatrix}d & -b \ -c & a\end{bmatrix})，定义条件为 (a \neq 0) 且 (ad - bc \neq 0)。
- 证明 (A^{(2)} = -A^{-1}) : 可以通过验证 (AA^{(2)} = -I_2) 来证明。

1.2 一般扫描算子

• 3×3 矩阵的扫描 : 对于 3×3 矩阵 (A = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_