Manacher算法

如何O(1)判断一个子串是否是回文串
先只考虑奇数长度的字符串(以s中的字符为对称中心)，若是暴力算法，i遍历字符串s，以i为中心向两边延申，计算两边对称位置字符是否相同，复杂度为O(n*n)，

 i     0   1   2   3   4   5   6   7   8   9  10   11 12 
 s    c   d   a   b   c   b    a   b   c   b    a    d   e

仍然是只考虑奇数长度的字符串情况，假设知道了以某个字符为中心的最长回文串长度l，那么以该字符为中心长度小于l的奇数长度字符串肯定也是回文串，比如上面以i=6的字符a为中心的最长回文串长度为11，对应"dabcbabcbad"，那么其子串“bcbabcb”依然是回文的，也就是说只要知道了以i为中心的最长回文串长度，就能判断以i为中心的任意子串是否回文，假如该字串长度<=最长回文串长度，那么它就回文。

定义一个奇回文串的回文半径hl=(长度+1)/2，即保留回文中心，去掉一侧后的剩余字符串的长度。接着考虑怎么得到字符串s以每个字符为中心对应的最长回文串的回文半径数组halflen。

 i             0   1   2   3   4   5   6   7   8   9  10   11 12 
 s            c   d   a   b   c    b   a   b   c   b    a    d   e
maxlen   1   1   1   1   5    1  11  1   

假设当前遍历到了i=8的位置，所以要求的是以i=8为中心的最长回文串长度，可以发现前面在i=6位置时对应得最长回文串右边界(i=11)最大，也就是在1-11范围内的字符都关于i=6对称，所以若要求i=8时的最长回文串长度，可以等价于找以i=4对应字符为中心的最长回文串长度，因为区间8-11的字符都可以通过i=6这个镜像对称到1-4，区间5-8同理对称到4-7，所以i=8时左右两边的情况大致和i=4时相似，不同之处在于i=12的位置，因为该位置在之前遍历过程中一直没被遍历到，遍历到的最大右边界为i=11。

 i             0   1   2   3   4   5   6   7   8   9  10   11 12 
 s            c   b   a   b   c    b   a   b   c   b   a    b   e
maxlen   1   1   5   1   7    1  11  1   

假设i=11和i=5也相等的情况，也就是i=4时的maxlen=7时，此时可以知道以i=8为中心的最长回文串长度至少为7，因为i=12没有可以对称的位置，所以需要继续暴力判断i=12和i=4的位置是否相等，若相等，长度就变为了9，此时遍历到的最大右边界就可以更新到i=12了，对应的回文字符串中心就是i=8的位置。可以看出假设每个位置得到的答案还跟右边界有关，假设右边界到当前i的位置长度小于其对称位置的回文半径，那么应该取右边界到当前i的位置长度，然后继续遍历右边无法对称的区域更新答案；否则i到右边界距离更大，说明右边区域都可以对称，就取对称位置的maxlen作回文半径，但仍然可能需要继续遍历。

上面都是在讨论奇数长度的回文子串，若**为偶数长度，可以变换为奇数情况**，在字符之间加上特殊符号即可，以这特殊符号为中心的回文串的情况就是偶数长度回文串的情况：
s: "cabac"   ->  t:  "#c#a#b#a#c#"

以i为中心向两端延申的过程中，可能会出现越界的情况，所以可以在两端再加上不同的字符，这样就可以不用担心越界情况发生。
t: "^#c#a#b#a#c#$"
halflen[i]表示的就是以t\[i]为中心的最长回文串半径，显然halflen[0]没意义，halflen[1]=1，最后两个'#$'其实也没必要算，所以halflen的长度可以为t.size()-2

这样，就需要考虑s区间[l,r]子串到t字符串中区间的区间转换和回文串长度转换：
若s字符串长度为n，t字符串长度就是2*n+3，找规律得到s中每个的i对应t中的2\*i+2的位置，也就是s区间[l,r]对应t区间[2*l+2,2*r+2]，回文中心就是i=l+r+2。那么就可以知道以i为中心的最长回文半径halflen[l+r+2]。

根据回文半径即可判断是否是回文串：
    t: "#c#a#b#a#c#"
字符b对应回文半径长度为"b#a#c#"的长度，也就是6，对应的回文串"cabac"，长度为5，可以推出最大长度回文串长度 = 最长回文半径 - 1，而当前区间\[l,r]的子串长度为r-l+1,若r-l+1<=halflen\[l+r+2]-1，则该子串就是回文子串。

int main() {
        //构造t
        string t = "^";  //防止越界
        for(char c:s){
            t += '#';
            t += c;
        }
        t += "#$";

  
        vector<int> halflen(t.size()-2);
        halflen[1] = 1;
        int boxR = 0;  //最大右边界
        int boxM = 0;  //最大右边界对应的回文串中心位置
        
         //从t[2]开始遍历
        for(int i=2;i<halflen.size();i++){
            int hl = 1;  //以i为中心的回文半径
            if(i<boxR){  //若i位置可以关于中心对称,对称位置为2*boxM-i
                //取i到边界距离和对称位置的最长回文半径的最小值
                hl = min(halflen[2*boxM-i],boxR-i);
            }
            //继续暴力遍历无法通过对称判断的部分，也就是右边界之后的部分
            while(t[i+hl]==t[i-hl]){
                hl++;
                //更新右边界和中心位置
                boxM = i;
                boxR = i+hl;
            }
            //以i为中心的最长回文半径就是hl
            halflen[i]=hl;
}

[5. 最长回文子串](https://leetcode.cn/problems/longest-palindromic-substring/) **模板题**
[647. 回文子串](https://leetcode.cn/problems/palindromic-substrings/) 计算回文子串个数
[214. 最短回文串](https://leetcode.cn/problems/shortest-palindrome/)

在字符串s前添加字符使s变为回文串，返回求得的最小回文串长度
结合蓝桥杯19718 回文字符串，可知这类在之前字符串前添加字符成为回文字符串的题核心就是找s的前缀回文串，若找到了回文前缀，那么把剩余的后缀反转和s连接就能形成回文串。解题方法也有多种：
1. 可以用字符串哈希，正序逆序哈希值应当相等。
2. manacher找最长回文前缀(要考虑回文子串何时是回文前缀)
3. 若找最长回文前缀，可以用KMP
   若s前缀为s1，s反转为~s，s1反转为~s1，那么考虑到 s1​ 是一个回文串，因此 s1​=~s1​，s1​ 同样是 ~s的后缀。这样一来，我们将 s 作为模式串， ~s作为查询串进行匹配。当遍历到~s的末尾时，如果匹配到s 中的第 i 个字符，那么说明 s 的前 i 个字符与 ~s的后 i 个字符相匹配（即相同），s 的前 i 个字符对应 s1，~s后i个字符对应~s1，因为s1=~s1，所以s1是回文串，且这样匹配得到的是最长的回文前缀。