筛质数（埃氏、欧拉筛）

埃氏筛

 原理：一个数如果不是小于等于它的所有质数的倍数，那么这个数就是质数，质数的倍数一定都是合数根据以上原理，可以把题目已给范围内所有质数筛选出来，只需遍历所有数，把质数的倍数去除(标记为false)，并且从前往后遍历的过程中每对一个质数进行以上操作，下一个为没被筛出的数一定也为质数，因为下一个数前面的所有质数的倍数都被去除了，这个数仍然留着说明这个数不是小于等于它的所有质数的倍数，因此一定是质数，举例：

初始时2为质数，把所有2的倍数去除后，遍历到下一个没有去除的3，3一定是质数，因为它不是小于它的所有的质数(也就是2)的倍数

接着把3的倍数去除，下一个没去除的5同样一定是质数，就这样慢慢的把范围内所有合数去除最终筛选出质数

问题：
根据上图可知考虑不同的质数时会去除重复的数(上图打×的数)，虽然不影响结果，但会增加复杂度

优化：
1.遍历每个质数时可以从质数的平方开始去除，例如i=3时，可以从j=9开始去除，因为小于 i*i 的合数 j 一定有一个小于 i 的质因子。可以用反证法证明：(合数一定能拆分成几个质数的乘积)如果小于 i*i 的合数 j 没有小于 i 的质因子，那么合数 j 至少是两个 ≥i 的数的乘积，这与j<i*i矛盾.

2.有的题目遍历i的时候如果写成以下形式可能会出现下标越界：
for(int j=i*i;j<MX+1;j+=i){   
    is_primes[j]=false;  //质数的倍数都标记为合数
}
//遍历时可能会有i*i>MX的情况,因此可以让j遍历i的倍数

3.进一步优化-欧拉筛(线性筛)

代码：

int MX;  //根据数据范围确定
vector<bool> is_primes(MX+1,true);   //[0,MX]区间内所有质数为true

//C++11 lambda表达式,初始化is_primes
auto init=[]{
    is_primes[1]=false; //1为合数
    for(int i=2;i<MX+1,i++){ //遍历[2,MX]所有数，排除合数
        if(is_primes[i]){  //若当前的i是质数
            for(int j=i;j<MX/i+1;j++){ //遍历i的倍数，可以防止越界
                is_primes[i*j]=false;  //质数的倍数都标记为合数
            }
        }
    }
    return 0;
}();

欧拉筛-每个合数只被划掉一次

原理：每个数乘以小于等于它本身的所有质数得到的合数被划掉，就可以划掉所有合数，但是会有重复划掉的情况，进一步优化，划掉每个数乘以小于等于它本身的最小质因子的质数得到的合数，不会有重复去除的情况，例如：

过程：遍历2把2加入primes，去除2*2=4,遍历3把3加入primes，去除3*2=6,3*3=9,遍历4，4不是质数不加入primes,4的最小质因子是2，因此只需要去除primes中<=2的质数和它相乘得到的合数4*2=8,因为4的最小质因子是2，它乘以任何数得到的数最小质因子也一定是2，质因子是2的数会在之后被清除掉，所以不用再重复考虑(考虑6的时候6*2=12)，这就是不重复去除的原理

int MX;  //根据数据范围确定
vector<bool> is_primes(MX+1,true);   //[0,MX]区间内所有质数为true
vector<int> primes; //加入质数

//C++11 lambda表达式,初始化is_primes
auto init=[]{
    is_primes[1]=false; //1为合数
    for(int i=2;i<Mx+1,i++){ //遍历[2,MX]所有数，排除合数
        if(is_primes[i])  //若当前的i是质数
            primes.emplace_back(i);
        //每个数i只乘以小于等于它的最小质因子(lpf[i])的所有质数,就不会重复去除
        for(int j=0;j<primes.size();j++){ //遍历之前所有的质数
            if(primes[j]*i>MX)  //越界
                break;
            is_primes[i*primes[j]]=false;
            if(i%primes[j]==0)  //碰到的第一个除的尽的质数就是最小质因子，碰到最小质因子直接退出
                break;
        }
    }
    return 0;
}();

选择：
在题目所数的范围比较小的时候可以使用埃氏筛,因为欧拉筛中有取模运算，反而会让运算时间更长，但当数的范围特别大的时候，去除的重复合数个数变多，埃氏筛就会比欧拉筛用时长

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