清风数学建模——层次分析法

层次分析法

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评价类问题可以用打分来解决

评价类问题应该从这三个方面中切入

1. 我们评价的目标是什么？
2. 我们为了达到目标有哪些选择方案？
3. 评价的指标是什么？

• 前两个问题可以在题目中得出，第三个问题要通过提炼题目或者搜索得出

• 总结一下：通过题目得出我们评价的目标是什么，然后推断出几种选择方案，再通过评价的指标給选择方案打分，最终选择出最优方案。

通过查找资料对比得出权重

• 计算得出指标对应权重，指标权重加起来为1；然后根据对象查找指标定义权重得分，根据不同对象的横向对比得出不同对象的同一指标权重得分，其中同一个指标的得分相加为1；最后用对对象的得分*指标权重加总求和，选出最大总和的对象

接下来通过分析题目推导层次分析法的步骤

• 小明同学想去旅游，在网上查阅攻略后，选定了苏杭，北戴河，桂林三处名胜作为旅游景点，请通过确定评价指标、形成评价体系来为小明同学选择最佳的方案。

1.通过查阅资料选定指标

现在我们来回答一下评价类问题的三个切入问题

1. 我们评价的目标是什么？

为小明同学选择最佳的旅游景点

2. 我们为了达到这个目标有哪几种可选的方案？

三种，分别是去苏杭、去北戴河和去桂林

3. 评价的准则或者说指标是什么？（我们根据什么东西来评价好坏）

景色、花费、居住、饮食、交通

2.画出权重表格并填写

• 先做出该表格然后一一分析填空

• 因为这里关系到三个景点和五种指标，若一起进行分析的话会非常困难，因此在这里我们只需要两两指标比较，根据比较结果推算出权重。也因此有了下面这个两两比较表示重要程度的表格

2.1.判断矩阵

• 根据两两指标比较得出的结果可以作出一个表格，该表格被称为判断矩阵。

• 根据所得资料将两两对象的指标相互比较，得出对应的元素a_ij（指标i与指标j相比i的重要程度），然后作出该矩阵

• 该矩阵若满足：

  1. i==j时即两指标相同因此a_ij相同记为1
  2. a_ij>0且a_ijxa_ji=1

  那么将这样的矩阵称为正互反矩阵，这个矩阵在层次分析法中作为判断矩阵（如a₁₃就可以表示为景色的重要程度比居住要介于稍微重要和明显重要之间。）

  此时小明根据两两指标对比得出结果，依次填到判断矩阵中。但实际上我们参加比赛的时候不会有小明帮我们填，需要我们通过查找资料，计算，推断得出结果。

  另外判断矩阵满足某些条件后是一致矩阵，一致矩阵是判断矩阵的一种形式。

一致矩阵

• 能由以下两个公式
  $$a_{ij}=i的重要程度/j的重要程度，a_{ji}=j的重要程度/i的重要程度$$

得出下面的公式
$$a_{}$$