计算机中补码的数学运算逻辑及证明

1. 问题

我们知道，在计算机中是用补码来存放实际的正负数的，那么计算机为什么要用补码来存放数据，计算机课本中，那个补码 = 反码 + 1的公式又是怎么来的？

要了解这些问题的答案，我们先要了解一些基本的知识，最基本的同余公式这里就不讲了，看本帖之前需要去离散数学或数论中了解下基本的同余运算即可。

2. 计算机的字长和同余计算

计算机的字长是指计算机运算时，能存放的最大数字的的位长，如我们常说的32位机，字长就是32位的，寄存器只有32bit，最多能放32个1，能表达的最大数字就是232 - 1

当超过这个数字后，由于无法存储，会被计算机丢弃，同时会设置CPU的溢出标志位，这就是所谓的溢出

为了简单，我们用8位机来做演示，即最大能表示的数字是28 - 1

记m = 28

所以，计算机的计算 (a + b)时，实际上计算的是 (a + b) % m (mod m)，超过m的部分都会被丢弃，只取余数的部分，即计算机中的计算实际都是一个模m的同余计算

如 1000 0000 + 1000 0001 = 1 0000 0001

由于最高位超出最大能够表示的数，多出的位将溢出丢弃，所以最后的结果为 0000 0001 = 1

3. 补码的定义和计算

设m > b >= 0，b为整数

则b的补 b = m – b （注意，这里定义的是补，而不是补码，