“补码”的数学原理

摘要：本文介绍补码进行运算为什么是有效的。
通过求同“同余”将减法变成加法；而求补码就是求同余。

1. 原码、反码和补码

1.1 原码

原码就是符号位加上真值的绝对值, 即用第一位表示符号, 其余位表示值.
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[+1]原 = 0000 0001
[- 1]原 = 1000 0001

1.2 反码

正数的反码是其本身
负数的反码是在其原码的基础上, 符号位不变，其余各个位取反.

1.3 补码

正数的补码就是其本身
负数的补码是在其原码的基础上, 符号位不变, 其余各位取反, 最后+1. (即在反码的基础上+1)

2. 同余

定义1：两个整数a，b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余。

例如，当$m=12$时，3跟15是同余的，因为$3 \quad mod\quad12\quad=\quad 3\quad = \quad 15\quad mod\quad 12$

对于同余，有如下结论：

1. a，b是关于m同余的，当且仅当，二者相差m的整数倍，
   $a-b=k\times m, \quad with \quad k = ……-2,-1,0,1,2,……$
   即，
   $a = b+k\times m, \quad with \quad k = ……-2,-1,0,1,2,……\\$
2. 一个数x加a对m取余，等于x加a的同余b对m取余，即，
   $(x+a)\quad mod\quad m=(x+b)\quad mod\quad m.$
   由1.易知2.是成立的。

3. 为什么补码是有效的

3.1 将减法变成加法

我们知道计算机只有加法器，没有减法器，那么就需要将加法变成加法。怎么变？
经过上面的介绍，我们知道，在对m取余的情况下，加上一个数，相当于加上这个数的同余，即，
若，$b = a + m$，则 $(x + a)\quad mod \quad m = (x+b)\quad mod\quad m$.

举个例子:
以时钟的时针为例，因为，10 = -2 + 12。
当前时刻$t=3$，向后拨2个小时得，$(t-2)\quad mod \quad 12=1\quad mod\quad 12=1$；
也就相当于向前拨10个小时，$(t+10)\quad mod\quad 12=13\quad mod\quad 12=1$。
结论：通过同余，减法操作变成了加法操作。

3.1 求同余就是求补码

我们通过证明：负数的补码和原码之和等于m，来证明求同余的过程就是求补码。

定义2：
定义m为除去符号位后，能表示的数字的个数。
例如，用8位表示整数，除去符号位，还剩7位，能表示的数字的就是000 0000~111 1111，共128个数字。所以此时$m=128.$

负数的补码等于原码的符号位不变，其它位取反，再加1。
那么不看不符号位，将负数的补码和原码相加等于多少呢？
全1再加1，就等于m！

例如，用8位表示整数-3，原码为1000 0011，补码为，1111 1101，不看符号位，将二者相加得，1000 0000 = 128.

3.2 用同余进行计算

后面我都将以用8位表示的整数运算，$3-2$为例进行分析。

1. 由于8位除去符号位后的m等于128，那么$128-2=126$，即$126= -2 +128$，根据上面的分析:
   

   $$(3 - 2)\quad mod \quad 128 = (3+126)\quad mod\quad 128$$

   题外话：为什么要模128，因为我们只关注后7位，如果和大于等于128，将进位。

   这样，减法就变成了加法，也可以看成，将所有含负数的运算变成了只含正数的运算。工作还没有完。

2. 我们进行上述计算：

   • 3的编码为：0000 0011（由于是正数，原码反码补码相同）
   • 126的编码：0111 1110
   • 二者相加得，1000 0001

   结果错误，这是负1的编码。

3. 我们发现上述运算的结果正好差一个负号，怎么办？这时候就轮到符号位出场了，刚才我们说的运算都忽略了符号位，现在把它加上：

   • 3的编码：0000 0011
   • 126的编码：1111 1110（因为126对应的是-2，因此其符号位为1）
   • 二者相加得：1 0000 0001，因为我们只看8位，得 0000 0001.

   结果正确！这就叫符号位参与运算。

4. 以上过程就是补码参与运算的过程。

4. 总结

计算机只能用有限的位表示整数本来是个劣势，而正是这个劣势让减法变成加法成为可能。塞翁失马焉知非福。
以上。