【Matlab】非线性规划问题

定义

如果目标函数或约束条件中包含非线性函数，就称这种规划问题为非
线性规划问题。可概括为一般形式 

$$\begin{array}{l}minf\left(x\right)\\ s.t.h_j\left(x\right)\le 0,j=1,\cdots ,q\\ g_i\left(x\right)=0,i=1,\cdots ,p\end{array}$$
其中$x=[x_1\cdots x_n{]}^T$称为模型（NP）的决策变量，f 称为目标函数，$g_i(i=1,\cdots ,p)$和 $h_j(j=1,\cdots ,q)$称为约束函数。另外， $g_i(x)=0(i=1,\cdots ,p)$ 称为等式约束，
$h_j(x)\le 0(j=1,\cdots ,q)$ 称为不等式的约束。

其中 f (x)是标量函数， A, B, Aeq, Beq是相应维数的矩阵和向量，C(x),Ceq(x) 是非线性向量函数。

matlab命令：

X=FMINCON(FUN,X0,A,B,Aeq,Beq,LB,UB,NONLCON,OPTIONS)

x = fmincon(fun,x0,A,b) 从 x0 开始，尝试在满足线性不等式 A*x ≤ b 的情况下寻找 fun 中所述的函数的最小值点 x。x0 可以是标量、向量或矩阵。
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq) 在满足线性等式 Aeq*x = beq 以及不等式 A*x ≤ b 的情况下最小化 fun。如果不存在不等式，则设置 A = [] 和 b = []。
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub) 对 x 中的设计变量定义一组下界和上界，使解始终在 lb ≤ x ≤ ub 范围内。如果不存在等式，请设置 Aeq = [] 和 beq = []。如果 x(i) 无下界，请设置 lb(i) = -Inf，如果 x(i) 无上界，请设置 ub(i) = Inf。
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options) 使用 options 所指定的优化选项执行最小化。使用 optimoptions 可设置这些选项。如果没有非线性不等式或等式约束，请设置 nonlcon = []。

返回值是向量$x$ ，其中 FUN 是用 M 文件定义的函数 f (x)；X0 是 x 的初始值；A,B,Aeq,Beq 定义了线性约束 A* X ≤ B, Aeq * X = Beq ，如果没有线性约束，则A=[],B=[],Aeq=[],Beq=[]；LB 和 UB 是变量 x 的下界和上界，如果上界和下界没有约束，则 LB=[]，UB=[]，如果 x 无下界，则 LB 的各分量都为-inf，如果 x 无上界，则 UB的各分量都为 inf；NONLCON 是用 M 文件定义的非线性向量函数C(x),Ceq(x) ；OPTIONS定义了优化参数，可以使用 Matlab 缺省的参数设置。

实例

$$\begin{array}{rl}& \min f\left(x\right)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+8\\ s.t.& x_1^2-x_2+x_3^2⩾0\\ & x_1+x_2^2+x_3^3⩽20\\ & -x_1-x_2^2+2=0\\ & x_2+2x_3^2=3\\ & x_1,x_2,x_3⩾0\end{array}$$

%fun1目标函数
function f=fun1(x);
f=sum(x.^2)+8

%fun2约束函数
function [g,h]=fun2(x); 
g=[-x(1)^2+x(2)-x(3)^2 x(1)+x(2)^2+x(3)^3-20]; %非线性不等式约束
h=[-x(1)-x(2)^2+2 x(2)+2*x(3)^2-3]; %非线性等式约束

%main主函数
options=optimset('largescale','off'); 
[x,y]=fmincon('fun1',rand(3,1),[],[],[],[],zeros(3,1),[], ... 
'fun2', options) 

运行结果：


或者可以下面的方法：

clc
clear all
%% 主函数
options=optimset('largescale','off');
[x,y] = fmincon(@fun,rand(3,1),[],[],[],[],zeros(3,1),[], @nonlcon, options)
 
%% 目标函数
function f=fun(x)
f=sum(x.^2)+8;
end
 
%% 非线性约束条件
function [c,ceq]=nonlcon(x)
c=[-x(1)^2+x(2)-x(3)^2
    x(1)+x(2)^2+x(3)^3-20];  %非线性不等式约束
ceq=[-x(1)-x(2)^2+2
   x(2)+2*x(3)^2-3]; %非线性等式约束
end

结果同上.

这样就可以解出当 x1 = 0.5522, x2 =1.2033, x3 = 0.9478 时，最小值 y =10.6511。

线性不等式约束

目标函数：

fun =   (x)100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2

约束条件：从点[-1,2]为起点求最小值，约束方程$x(1)+2x(2)⩽1$
matlab代码：

clear
clc
fun = @(x)100*(x(2)-x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2;%匿名函数使用
x0 = [-1,2];%起点可以更改，似乎没影响
A = [1,2];
b = 1;
[x,y] = fmincon(fun,x0,A,b)%套用函数

运行结果：

线性不等式和等式约束条件

matlab代码：

clc
clear all
fun = @(x)100*(x(2)-x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2;

x0 = [1,1];%初始点设置自行不同
A = [1,-2];
b = 1;
Aeq = [2,1];
beq = 1;
[x,y] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq)

运行结果：

非线性约束

在边界约束下求目标函数在圆内最小的点：

%目标函数fun =   (x)100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2

得匿名函数：

fun = @(x)100*(x(2)-x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2;

约束条件：

 0 ≤ x (1) ≤ 0.5 0
 0.2≤x(2)≤0.8

可得：

lb = [0,0.2];
ub = [0.5,0.8];

同时在以[1/3, 1/3]题心、半径为1/3的圆内寻找：

function [c,ceq] = circle(x)
c = (x(1)-1/3)^2 + (x(2)-1/3)^2 - (1/3)^2;
ceq = [];

无约束条件设为[]

A = [];
b = [];
Aeq = [];
beq = [];

总代码：
函数代码：

function [c,ceq] = circle(x)
c = (x(1)-1/3)^2 + (x(2)-1/3)^2 - (1/3)^2;
ceq = [];
end

主代码：

clc 
clear all
fun = @(x)100*(x(2)-x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2;
lb = [0,0.2];
ub = [0.5,0.8];
A = [];
b = [];
Aeq = [];
beq = [];
x0 = [1/4,1/4];


nonlcon = @circle;
[x,y] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)

运行结果：

这里留几题来试试手：