matlab——非线性规划

非线性规划的定义

如果目标函数或约束条件中包含非线性函数，就称这种规划问题为非线性规划问题。

非线性规划目前还没有适于各种问题的一般算法，各个方法都有自己特定的适用范围。

除了常数项每项的次数都是一次的就是线性函数，如果出现平方和开方就是非线性函数。

非线性规划的Matlab解法

       Matlab中非线性规划的数学模型写成以下形式：
$$\begin{gathered} minf(x)， \\ s.t.\{\begin{array}{l}A\cdot x\le b，\\ Aeq\cdot x=beq，\\ c(x)\le 0，\\ ceq(x)=0，\\ lb\le x\le ub。\end{array} \end{gathered}$$

式中：$c(x),ceq(x)$为非线性向量函数。
Matlab中的命令是

$[x,fval]=fmincon(fun,x_0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)$

如果没有线性约束，则填入"[ ]"就行。

$fun$是用M文件定义的函数$f(x)；$$nonlcon$是用M文件定义的非线性向量函数$c(x),ceq(x)；options$定义了优化参数，可以使用Matlab默认的参数设置。

例      求下列非线性规划：

$$\begin{gathered} minf(x)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+8， \\ s.t.\{\begin{array}{l}{x}_1^2-x_2+x_3^2\ge 0，\\ x_1+x_2^2+x_3^3\le 20，\\ -x_1-x_2^2+2=0，\\ x_2+2x_3^2=3，\\ x_1,x_2,x_3\ge 0。\end{array} \end{gathered}$$

解      (1)编写M函数fun1.m定义目标函数：

function f=fun1(x);
f=sum(x.^2)+8;%x是向量，里面已经包含了x1,x2,x3，矩阵用.^是将各元素平方。

（2）编写M函数fun2.m定义非线性约束条件：

function [g,h]=fun2(x);
g=[-x(1)^2+x(2)-x(3)^2
	x(1)+x(2)^2+x(3)^3-20];%非线性不等式约束  这里第一个式子变号了，因为Matlab标准型要用≤的不等式
h=[-x(1)-x(2)^2+2
	x(2)+2*x(3)^2-3];%非线性等式约束

(3)编写主程序文件如下：

[x,y]=fmincon('fun1',rand(3,1),[],[],[],[],zeros(3,1),[],'fun2')

求得当$x_1$=0.5522，$x_2$=1.2033，$x_3$=0.9478时，最小值$y$=10.6511。

（rand函数的问题后面一起说）

无约束问题的Matlab解法

无约束问题的符号解

例      求多元函数$f(x$