[树形dp] 战略游戏

问题描述

$Bob$ 喜欢玩电脑游戏，特别是战略游戏。但是他经常无法找到快速玩过游戏的办法。现在他有个问题。他要建立一个古城堡，城堡中的路形成一棵树。他要在这棵树的结点上放置最少数目的士兵，使得这些士兵能了望到所有的路。注意，某个士兵在一个结点上时，与该结点相连的所有边将都可以被了望到。

请你编一程序，给定一树，帮 $Bob$ 计算出他需要放置最少的士兵。

输入格式

第一行 $N$，表示树中结点的数目。

第二行至第 $N+1$ 行，每行描述每个结点信息，依次为：该结点标号 $i,k$（后面有 $k$ 条边与结点 $i$ 相连)，接下来 $k$ 个数，分别是每条边的另一个结点标号 $r_1,r_2,\dots ,r_k$。

对于一个 $n(0<n\le 1500)$ 个结点的树，结点标号在 $0$ 到 $n-1$ 之间，在输入文件中每条边只出现一次。

输出格式

输出文件仅包含一个数，为所求的最少的士兵数目。

样例

样例输入1：

4
0 1 1
1 2 2 3
2 0
3 0

样例输出1：

1

数据范围

$0<n\le 1500$

题解

设 $f_{i,0/1}$ 表示 $i$ 点不放 $/$ 放 士兵所需最少士兵数。

• $i$ 点不放士兵，此时 $i$ 的孩子 $v_i$ 都要放士兵，才能使 $i\to v_i$ 的边被看守。
  $f_{i,0}={\sum }_{j\in v_i}{f}_{j,1}$

• $i$ 点放士兵，此时 $i$ 的孩子 $v_i$ 放与不放都可以。
  $f_{i,1}={\sum }_{j\in v_i}\min (f_{j,0},f_{j,1})+1$

综上，我们得到转移方程：
$f_{i,0}={\sum }_{j\in v_i}{f}_{j,1}$
$f_{i,1}={\sum }_{j\in v_i}\min (f_{j,0},f_{j,1})+1$

答案为 $\min (f_{rt,0},f_{rt,1})$。

void dfs(int x){//树形 dp
	f[x][1] = 1;
	for(auto i : v[x]){
		dfs(i);
		f[x][0] += f[i][1];
		f[x][1] += min(f[i][1], f[i][0]);
	}
}
int main(){
	scanf("%d", &n);
	for(int i = 1; i <= n; ++ i){
		int x, y, z;
		scanf("%d %d", &x, &y);
		while(y --){
			scanf("%d", &z);
			v[x].push_back(z);
			fl[z] = 1;
		}
	}
	//找根	
	int rt = 0;
	for(int i = 0; i < n; ++ i){
		if(!fl[i]){
			rt = i;
			break;
		}
	}
	dfs(rt);
	printf("%d", min(f[rt][0], f[rt][1]));
	return 0;
}