[树形dp] 皇宫看守

问题描述

太平王世子事件后，陆小凤成了皇上特聘的御前一品侍卫。

皇宫以午门为起点，直到后宫嫔妃们的寝宫，呈一棵树的形状；某些宫殿间可以互相望见。大内保卫森严，三步一岗，五步一哨，每个宫殿都要有人全天候看守，在不同的宫殿安排看守所需的费用不同。

可是陆小凤手上的经费不足，无论如何也没法在每个宫殿都安置留守侍卫。

编程任务：帮助陆小凤布置侍卫，在看守全部宫殿的前提下，使得花费的经费最少。

输入格式

输入文件中数据表示一棵树，描述如下：

第 $1$ 行 $n$，表示树中结点的数目。

第 $2$ 行至第 $n+1$ 行，每行描述每个宫殿结点信息，依次为：该宫殿结点标号 $i(0<i\le m)$，在该宫殿安置侍卫所需的经费 $k$，该边的儿子数 $m$，接下来 $m$ 个数，分别是这个节点的 $m$ 个儿子的标号 $r1,r2,\dots ,r_m$。

对于一个 $n(0<n\le 1500)$ 个结点的树，结点标号在 $1$ 至 $n$ 之间，且标号不重复。

输出格式

输出文件仅包含一个数，为所求的最少的经费。

样例

样例输入1：

6
1 30 3 2 3 4
2 16 2 5 6
3 5 0
4 4 0
5 11 0
6 5 0

样例输出1：

25

数据范围

$0<n\le 1500$

题解

设 $f_{i,0/1/2}$ 表示 $i$ 号结点，$0$ 被父亲看守，$1$ 被儿子看守，$2$ 被自己看守（在 $i$ 安排护卫）。

• $f_{i,0}$，这时 $i$ 没有安排护卫，$i$ 的儿子要么安排护卫，要么被其儿子看到。
  $f_{i,0}={\sum }_{j\in v_i}\min (f_{j,0},f_{j,1})$
• $f_{i,1}$，被 $i$ 的儿子看守，即 $i$ 的儿子至少有一个安排了护卫，其它儿子可以被后代看见或安排护卫。先不考虑至少有一个安排护卫的问题，此时 $f_{i,1}={\sum }_{j\in v_i}\min (f_{j,1},f_{j,2})$。由于儿子可能都选的是 $f_{j,1}$（此时 $f_{j,1}<f_{j,2}$），没有儿子看到 $i$，因此我们要花尽可能低的代价将 $f_{j,1}$ 转化为 $f_{j,2}$。
  设 $d$ 表示将 $f_{j,1}$ 转化为 $f_{j,2}$ 的最小代价，如果有 $f_{j,2}$ 就为 $0$。在计算每个儿子结点时，先对 $f_{j,1},f_{j,2}$ 取最小值，再用 $f_{j,2}$ 减去 $\min (f_{j,1},f_{j,2})$ 得到当前结点 $f_{j,1}$ 转化为 $f_{j,2}$ 的值。如果当前选的是 $f_{j,2}$，值为 $0$。如果当前选的是 $f_{j,1}$，值为 $f_{j,2}-f_{j,1}$，即 $f_{j,1}$ 转化为 $f_{j,2}$ 的差值。由于只需转化一个 $j$，所以对所有的 $j(j\in v_i)$，$d=\min (f_{j,2}-\min (f_{j,1},f_{j,2}))$。
  $f_{i,1}={\sum }_{j\in v_i}\min (f_{j,1},f_{j,2})+d$
  d = min ⁡ { f j , 2 − min ⁡ ( f j , 1 , f j , 2 ) ∣ j ∈ v i } d = \min\{f_{j, 2} - \min(f_{j, 1}, f_{j, 2})|j \in v_i\} d=min{fj,2​−min(fj,1​,fj,2​)∣j∈vi​}
• $f_{j,2}$，被自己看守，此时 $i$ 的儿子可以自己安排护卫，也可以被儿子看守，还可以被父亲看守。
  f j , 2 = ∑ j ∈ v i min ⁡ { f j , 0 , f j , 1 , f j , 2 } f_{j, 2} = \sum_{j \in v_i}\min\{f_{j, 0}, f_{j, 1}, f_{j, 2}\} fj,2​=∑j∈vi​​min{fj,0​,fj,1​,fj,2​}

综上，我们得到了本题的转移方程：
$f_{i,0}={\sum }_{j\in v_i}\min (f_{j,0},f_{j,1})$
f i , 1 = ∑ j ∈ v i min ⁡ ( f j , 1 , f j , 2 ) + d , d = min ⁡ { f j , 2 − min ⁡ ( f j , 1 , f j , 2 ) ∣ j ∈ v i } f_{i, 1} = \sum_{j \in v_i}\min(f_{j, 1}, f_{j, 2}) + d,d = \min\{f_{j, 2} - \min(f_{j, 1}, f_{j, 2})|j \in v_i\} fi,1​=∑j∈vi​​min(fj,1​,fj,2​)+d,d=min{fj,2​−min(fj,1​,fj,2​)∣j∈vi​}
f j , 2 = ∑ j ∈ v i min ⁡ { f j , 0 , f j , 1 , f j , 2 } f_{j, 2} = \sum_{j \in v_i}\min\{f_{j, 0}, f_{j, 1}, f_{j, 2}\} fj,2​=∑j∈vi​​min{fj,0​,fj,1​,fj,2​}

答案为 $\min (f_{rt,1},f_{rt,2})$（因为 $rt$ 不能被父亲看守）。

void dfs(int x){//树形dp
	int t = 2e9;
	f[x][2] = a[x];
	for(auto i : v[x]){
		dfs(i);
		f[x][0] += min(f[i][1], f[i][2]);
		f[x][1] += min(f[i][1], f[i][2]);
		f[x][2] += min(min(f[i][0], f[i][1]), f[i][2]);
		t = min(t, f[i][2] - min(f[i][1], f[i][2]));
	}
	f[x][1] += t;
}