[区间dp] 加分二叉树

题目描述

设一个 $n$ 个节点的二叉树 $\text{tree}$ 的中序遍历为$(1,2,3,\dots ,n)$，其中数字 $1,2,3,\dots ,n$ 为节点编号。每个节点都有一个分数（均为正整数），记第 $i$ 个节点的分数为 $d_i$，$\text{tree}$ 及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树 $\text{subtree}$（也包含 $\text{tree}$ 本身）的加分计算方法如下：

$\text{subtree}$ 的左子树的加分 $\times$ $\text{subtree}$ 的右子树的加分 $+$ $\text{subtree}$ 的根的分数。

若某个子树为空，规定其加分为 $1$，叶子的加分就是叶节点本身的分数。不考虑它的空子树。

试求一棵符合中序遍历为 $(1,2,3,\dots ,n)$ 且加分最高的二叉树 $\text{tree}$。要求输出

1. $\text{tree}$ 的最高加分。

2. $\text{tree}$ 的前序遍历。

输入格式

第 $1$ 行 $1$ 个整数 $n$，为节点个数。

第 $2$ 行 $n$ 个用空格隔开的整数，为每个节点的分数

输出格式

第 $1$ 行 $1$ 个整数，为最高加分（$ Ans \le 4,000,000,000$）。

第 $2$ 行 $n$ 个用空格隔开的整数，为该树的前序遍历。

样例

样例输入1：

5
5 7 1 2 10

样例输出1：

145
3 1 2 4 5

数据范围

对于全部的测试点，保证 $1\le n<30$，节点的分数是小于 $100$ 的正整数，答案不超过 $4\times 10^9$。

题解

观察到 $n\le 30$，求最高加分，因此考虑到 DP。

设 $f_{i,j}$ 表示 $i$ 到 $j$ 的最大加分。

转移时枚举中转点 $k$，把 $k$ 当作根，计算左右子树的加分的乘积和该节点的加分之和，即 $f_{i,j}=f_{i,k-1}\times f_{k+1,j}+a_i$。注意左右子树为空的情况要特判。

如何求这棵树呢？

在转移时，如果能更新 $f_{i,j}$，就用一个 $d$ 数组记录区间 $[i,j]$ 的根（也可以记录 $k-i$）。输出方案时，进行 dfs。dfs 记录区间 $[l,r]$，每次找出根 $t$ 输出，然后继续递归 $[l,t-1]$ 和 $[t+1,r]$。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
int a[40];
int f[40][40];
int d[40][40];
void dfs(int x, int y){//输出方案
	if(x > y){
		return;
	}
	printf("%d ", x + d[x][y]);
	dfs(x, x + d[x][y] - 1);
	dfs(x + d[x][y] + 1, y);
}
int main(){
	memset(f, 0, sizeof(f));
	memset(d, 0, sizeof(d));
	scanf("%d", &n);
	for(int i = 1; i <= n; ++ i){
		scanf("%d", &a[i]);
	}
	for(int i = 1; i <= n; ++ i){//初始化
		f[i][i] = a[i];
		d[i][i] = 0;
	}
	for(int k = 2; k <= n; ++ k){
		for(int i = 1; i <= n - k + 1; ++ i){
			int j = i + k - 1, t1, t2;
			for(int u = i; u <= j; ++ u){
				if(u == i){
					t1 = 1;
				}
				else{
					t1 = f[i][u - 1];
				}
				if(u == j){
					t2 = 1;
				}
				else{
					t2 = f[u + 1][j];
				}
				int t = t1 * t2 + a[u];
				if(f[i][j] < t){
					f[i][j] = t;
					d[i][j] = u - i;
				}
			}
		}
	}
	printf("%d\n", f[1][n]);
	dfs(1, n);
	return 0;
}