AtCoder - ABC 159 - E（二进制枚举，观察数据范围）

奶聂小团子

已于 2022-09-01 13:53:40 修改

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分类专栏： AtCoder 文章标签：算法

于 2022-09-01 01:01:57 首次发布

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E.Dividing Chocolate

题目：

有 H×W 大小的方格矩阵，每个方格为 0 or 1, 现在可以进行横切与竖切，每次切都是一切到底的，询问最少切多少次可以保证最后的分块中每个分块都有不超过 K 个 1。

数据范围：

1 ≤ H ≤ 10
1 ≤ W ≤ 1000
1 ≤ K ≤ H × W

思路：

观察到题目给的H很小，用二进制暴力枚举横切的情况，二进制数范围为 0 ~ $2^{n-1}$ - 1。因为方块的宽度为h,说明可以横切的地方有n-1个位置，需要二进制位位数是n-1,所以二进制数最多枚举到 $2^{n-1}$ - 1。如：n=3,n-1=2，因为 $2^{2}$ =4=0100；而0~ $2^{2}$ -1：00,01,10,11。

枚举横切时贪心求竖切的次数：

判断是否需要竖切，或者说在哪竖切时，对于横切后的各区域通过枚举列累加计数来判断是否某需要竖切，如果枚举时发现某区域到某列 j 时累计的 1 的个数超过 k ,说明需要在这一列 j 巧克力的左边界竖切一刀，也就是说是将这一列 j 划到下一块；

竖切过一刀后，以刀痕为界，再对右边的方块继续同上按区域枚举列，进而统计每区域 1 的个数，判断是否需要继续竖切，每竖切过一刀就有一个判断再竖切都没有用的情况：即单独判断需要开刀的拿一列(第 j 列) 1 的个数是否大于 k ，如果这一列拥有的 1 的个数已经大于 k ，那么之后再竖着切也没用了，必须横着切，直接跳出枚举竖切的循环，继续枚举横切即可。

反之，可以继续枚举竖切，同上继续枚举竖切直到竖切枚举完时才说明该方案成立；以此类推，用cnt 记录每次方案的刀数，取 Min 。

Code:

//#include<bits/stdc++.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cstring>
using namespace std;

//#define int long long
#define x first
#define y second
#define IOS ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);

//typedef long long LL;
typedef pair<int, int>PII;

const int N = 200010, INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m, k, z;
char s[15][1010];
int c[15];

用来取一个二进制最低位的一与后边的0组成的数
//int lowbit(int x)
//{
//    return x & -x;
//}
//
累计二进制数x中1的个数
//int count1(int x)
//{
//    int res = 0;
//    while (x)
//        x -= lowbit(x), res++;
//    return res;
//}

//判断是否需要在方块的第j列的右边界竖着切一刀
bool infer(int j)
{
    int id = 0;                             //id代表横切分成的区域的编号
    for (int i = 0; i < n; i++)             //累计第j列拥有的1的个数
    {
        c[id] += (s[i][j] == '1');
        if (c[id] > k)return true;          //如果区域id块的1的个数大于k，需要竖切
        if (z >> i & 1)id++;                //根据枚举到的横切状态z通过右移&1，判断横切将方块分成几个区域（如：n=3,z=0011时，说明方块被完全横切两道，将方块上下分成了3个区域，依次对应idx=0,1,2）
    }
    return false;
}

void solve()
{
    cin >> n >> m >> k;
    for (int i = 0; i < n; i++)cin >> s[i];    //输入巧克力状态

    int ans = INF;

    for (z = 0; z < 1 << n - 1; z++)           //二进制枚举横切的状态0~2^(n-1)
    {
        memset(c, 0, sizeof(c));
        bool ok = false;

        int cnt = __builtin_popcount(z);       //记录横切了多少刀
        //int cnt = count1(z);

        for (int j = 0; j < m; j++)            //贪心判断竖切多少刀
        {
            if (infer(j))                      //判断此时横切后的状态是否需要竖切
            {
                cnt++;                         //竖切一刀
                memset(c, 0, sizeof(c));       //切完后，该刀痕右侧的部分竖着的每一块计数从0开始算

                ok = infer(j);                 //判断切后的划分到下一块的的这一列j拥有的1的个数是否大于k
                if (ok)break;                  //如果这一列已经大于k，说明横切少了，再竖切也无用，直接跳出循环继续枚举横切
            }
        }

        if (!ok)ans = min(ans, cnt);           //满足条件的方案记录下，取刀数最小值
    }

    cout << ans << endl;
}

signed main()
{
    IOS;

    int t = 1;
    //cin >> t;

    while (t--)
    {
        solve();
    }

    return 0;
}

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吐槽：不得不说，这题我补的过程是真曲折啊，本来看的题解是不带break那条语句的，之后看懂后感觉应该加上应该没错，然后提交试试……一直过不了，一直以为我加的break不对，想半天，最后发现原来是因为我写循环时又将z当局部变量定义了一次，得，局部变量当全局变量用了，，，害-.-`。本题注意点：

1.二进制枚举也接触过，不过感觉这题确定枚举范围那块还是有些不熟练。

2.还有这个统计二级制中1的个数函数 __builtin_popcount也是第一次见(⊙o⊙)…而且我的VS上编译显示找不到标识符(⊙o⊙)…但是能过。不过也可以用lowbit来实现该函数。

3.该题贪心判断是否竖切的过程也很巧妙，它在横切的基础上分区域记录，而且还在每竖切一次后单独判断该列是否可以说明竖切没用，少横切。