P1782 旅行商的背包[混合背包,优化,数据大]

P1782 旅行商的背包

题意

旅行商的背包

题目描述

小 S 坚信任何问题都可以在多项式时间内解决，于是他准备亲自去当一回旅行商。在出发之前，他购进了一些物品。这些物品共有 $n$ 种，第 $i$ 种体积为 $V_i$，价值为 $W_i$，共有 $D_i$ 件。他的背包体积是 $C$。怎样装才能获得尽量多的收益呢？作为一名大神犇，他轻而易举的解决了这个问题。

然而，就在他出发前，他又收到了一批奇货。这些货共有 $m$ 件，第 $i$ 件的价值 $Y_i$ 与分配的体积 $X_i$ 之间的关系为：$Y_i=a_i{X}_i^2+b_i{X}_i+c_i$。这是件好事，但小 S 却不知道怎么处理了，于是他找到了一位超级神犇（也就是你），请你帮他解决这个问题。

输入格式

第一行三个数 $n,m,C$，如题中所述；

以下 $n$ 行，每行有三个数 $V_i,W_i,D_i$，如题中所述；

以下 $m$ 行，每行有三个数 $a_i,b_i,c_i$，如题中所述。

输出格式

仅一行，为最大的价值。

样例 #1

样例输入 #1

2 1 10
1 2 3
3 4 1
-1 8 -16

样例输出 #1

10

提示

样例解释

前两种物品全部选走，最后一个奇货分给 $4$ 的体积，收益为$2\times 3+4\times 1+(-1)\times 16+8\times 4+(-16)=10$。

限制与约定

对于 $100\%$ 的数据，$1\le n\le 10^4$，$1\le m\le 5$，$1\le C\le 10^4$，$
1 \le W_i,V_i,D_i \le 1000$，$-1000 \le a_i,b_i,c_i \le 1000$。

tags

混合背包（多重背包+完全背包+任意重量背包）、快读、二进制优化

思路

1. 数据量很大：快读
2. 先分析任意重量背包
   1. 因为物品数只有5，可以直接暴力解决
   2. 枚举容量，对于指定的容量j，可以选重量0~j的物品，枚举这所有物品即可
3. 重点在多重背包部分
   1. 二进制优化可能不能少**（可以直接拆分物品数量进行dp，不用存到数组中，节省空间也不用去分析数组大小）**
   2. 但是还是会超时，在优化：多重背包变为完全背包，当最多可以选i物品的数量<D_i时，可以把其看作完全背包来写，二不用去拆分背包

AC代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;

const int maxn=1e4+10,maxm=10;
int n,m,h;
ll dp[maxn];

inline int read(){
    int x=0,j=1;char ch;ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')j=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
    return x*j;
}

int main(){
    n=read(),m=read(),h=read();
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int x,y,z;
        x=read(),y=read(),z=read();
        if(z*x>h){
            for(int j=x;j<=h;j++)dp[j]=max(dp[j],dp[j-x]+y);
        }
        else{
            for(int k=1;k<=z;k<<=1){
                for(int j=h;j>=k*x;j--){
                    dp[j]=max(dp[j],dp[j-k*x]+k*y);
                }
                z-=k;
            }
            if(z){
                for(int j=h;j>=z*x;j--){
                    dp[j]=max(dp[j],dp[j-z*x]+z*y);
                }
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int a,b,c;
        a=read(),b=read(),c=read();
        for(int j=h;j>=0;j--){
            for(int k=0;k<=j;k++){
                dp[j]=max(dp[j],dp[j-k]+1ll*a*k*k+b*k+c);
            }
        }
    }
    cout<<dp[h]<<endl;
}