NTL密码算法开源库——模2整数

2021SC@SDUSC

综述

模2运算是一种二进制算法，不考虑进位和借位，即模2加法是不带进位的二进制加法运算，模2减法是不带借位的二进制减法运算。

模2运算

 模2加法

两个序列模二相加，即两个序列中对应位相加，不进位，相同为0，不同为1。

1+1=0  0+0=0  1+0=1  0+1=1（相同即为0，否则为1）

例如：

    0 1 0 1

+ 0 0 1 1

──────

   0 1 1 0

模二减法

减法和加法一样，按加法规则运算。

0－0=0  1－1=0  0－1=1 1－0=1（相同即为0，否则为1）

例如：

　0 1 1 0

－0 0 1 1

──────

　0 1 0 1

模二乘法

多位二进制模2乘法类似于普通意义上的多位二进制乘法，或者是十进制乘法。不同之处在于后者累加中间结果（或称部分积）时采用带进位的加法，而模2乘法对中间结果的处理方式采用的是模2加法。

0×0=0 0×1=0 1×0=0 1×1=1（除11为1外，其余都为0）

例如：

　   1 0 1 1

     × 1 0 1

　　——————

　    1 0 1 1

　 0 0 0 0

 1 0 1 1

——————

1 0 0 1 1 1

模二除法

多位二进制模2除法也类似于普通意义上的多位二进制除法，但是在如何确定商的问题上两者采用不同的规则。后者按带借位的二进制除法，根 据余数减除数够减与否确定商1还是商0，若够减则商1，否则商0。多位模2除法采用模2减法，不带借位的二进制减法，因此考虑余数够减除数与否是没有意义 的。实际上，在CRC运算中，总能保证除数的首位为1，则模2除法运算的商是由余数首位与除数首位的模2除法运算结果确定。因为除数首位总是1，按照模2 除法运算法则，那么余数首位是1就商1，是0就商0。

在下面的示例中，当余数位数与除数位数相同时，才进行异或运算，余数首位是1，商就是1，余数首位是0，商就是0。当已经除了几位后，余数位数小于除数，商0，余数往右补一位，位数仍比除数少，则继续商0，当余数位数和除数位数一样时，商1，进行异或运算，得新的余数，以此至被除数最后一位。

例如：

1111000 除以1101，模2除法的商为1011，余数为111.

#第一步 

1111000 

1101 

0010000 ----余数，商为1，只要第一位非0商就是1 

#第二步，每步移一位，当起始位为0时，除以0；为1时除以除数。 

010000 

0000 

010000  ----余数，商为0，只要第一位是0商就是0 

#第三步 

10000 

1101 

01010  -----余数，商为1，这里的余数你猜出，其实就是对应位异或 

#第四步 

1010 

1101 

0111   ------余数，商为1，如果位数比除数还小，不再继续运算 

#最终余数为111，商为1011 

代码实现（加法）

#include <stdio.h>

#include <stdlib.h>

#include <string.h>

#include <math.h>



int main()

{

    int k[100];//存放计算后的二进制数

    char s1[100],s2[100];//输入的两个二进制数

    int sum,sum1=0,sum2=0;

    int len1,len2;//两个字符数组的长度

    int i=0;

    gets(s1);

    gets(s2);

    len1 = strlen(s1);

    len2 = strlen(s2);

    while(s1[i]!='\0')//第一个二进制数转化为十进制数

    {

        sum1+= pow(2,len1-1)*(s1[i]-48);

        len1--;

        i++;

    }

    i=0;

    while(s2[i]!='\0')//第二个二进制数转化为十进制数

    {

        sum2+= pow(2,len2-1)*(s2[i]-48);

        len2--;

        i++;

    }

    i=0;

    sum = sum1+sum2;//两数和

    while(sum)//和转化为二进制

    {

        k[i] = sum%2;

        sum/=2;

        i++;

    }

    i=i-1;

    while(i>=0)//输出

    {

        printf("%d",k[i]);

        i--;

    }

    return 0;

}

其余代码见@元解~殇怀

PS：模二除法的应用：CRC冗余检验（用于计算机网络中传输过程，检验传输过程是否出错）

CRC循环冗余检验：余数为0就没出错；不能确定哪几个比特出错了

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可以看到：

模2除法的每一位的计算是完全独立的，就是异或，根本没有什么进位借位的事儿

如果余数首位为1，则商为0，且再和除数异或一次，第二次的余数首位一定为0了，但是这一次只右移，并不得到商。所以上面的例子中做了8次异或运算，但是只有6位商，因为其中有两次的余数是1

模2运算中除数和余数用的是异或；二进制和十进制除法中除数和余数用的是减法。