数论问题70

命题1，求所有的n∈N，使得对某个K∈{1，2，…，n-1}，有2C(K，n)=C(K-1，n)十C(K+1，n)。

其中，C(n,m)=A(n,m)/m。

排列组合C的公式：C(n，m)=A(n，m)/m!。

排列A(n,m)=n×（n-1）…（n-m+1）＝n!/（n-m）！（n为下标，m为上标，以下同）

 

 

 

解:因为对于每个K=1，2，…，n-1，有

 

C(K-1，n)

 

=C(K，n)*K/(n-K+1)，

 

C(K+1，n)

 

=C(K，n)*(n-K)/(K+1)

 

C(K，n)≠0。

 

所以，2C(K，n)=C(K-1，n)+C(K+1，n)，等价于

 

2=k/(n-K+1)+(n-K)/(K+1)。

 

即(n-2K)^2=n+2。因为所求的n∈N必可表为n=m^2-2，其中m=2，3，…。下面设n=m^2-2，如果m=2，则n=2，因此只有当k=0时才有(n-2K)^2=n+2。如果m>2，则当K=m(m-1)/2-1时，

 

(n-2K)^2=n+2成立。注意，当m>2时，有

 

0<m(m-1)/2-1<m^2-2=n。

 

这表明，所求的n(∈N)是所有形如n=m^2-2的数，其中m=3，4，…。 (李扩继)