【图像重建】基于Matlab计算机断层扫描中图像重建

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🔥 内容介绍

计算机断层扫描（Computed Tomography, CT）作为一种非侵入性成像技术，通过多角度采集物体的 X 射线衰减数据，重建出内部结构的断层图像，在医学诊断、工业检测、安全检查等领域发挥着不可替代的作用。图像重建是 CT 技术的核心环节，其算法性能直接决定了图像的空间分辨率、对比度和伪影抑制能力。传统重建方法在低剂量、快速扫描等场景下存在局限性，而新一代算法（如迭代重建、深度学习重建）正逐步突破这些瓶颈。本文将系统阐述 CT 图像重建的基本原理、经典算法、前沿技术及应用挑战。

一、CT 图像重建的基本原理

1.1 CT 扫描的物理基础

CT 的成像原理基于X 射线衰减定律（朗伯 - 比尔定律）：当 X 射线穿过物体时，其强度随穿透深度呈指数衰减，衰减程度与物质的密度和原子序数相关。数学表达式为：

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I = I₀ × exp(-∫μ(x,y)dl)

其中，I₀为入射 X 射线强度，I为出射强度，μ(x,y)为物体在位置(x,y)处的线性衰减系数，积分路径l为 X 射线穿过物体的路径。

CT 扫描通过旋转扫描架实现多角度数据采集：X 射线源与探测器阵列相对放置，围绕成像物体旋转（通常 0°-360°），每旋转一个角度（如 0.5°）采集一次投影数据，最终获得全角度的衰减信息（正弦图）。

1.2 图像重建的数学本质

图像重建的目标是从投影数据反推物体的衰减系数分布μ(x,y)，本质上是解算逆投影问题。在平行束 CT 中，投影数据p(θ, t)定义为 X 射线束在角度θ、平移位置t处的衰减积分：

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p(θ, t) = ∫μ(x,y)δ(xcosθ + ysinθ - t)dxdy

其中，δ(·)为狄拉克函数，xcosθ + ysinθ = t表示 X 射线束的路径方程。

图像重建即通过p(θ, t)求解μ(x,y)，这一过程可通过傅里叶变换建立联系：根据中心切片定理，投影数据在角度θ的一维傅里叶变换，对应于物体二维傅里叶变换在同角度的径向切片。因此，图像重建可通过采集全角度的傅里叶切片，插值后经二维傅里叶逆变换得到μ(x,y)。

二、经典图像重建算法

2.1 滤波反投影算法（Filtered Back Projection, FBP）

FBP 是临床 CT 中应用最广泛的重建算法，具有计算效率高、实现简单的特点，步骤如下：

1. 预处理：对原始投影数据进行校正（如探测器增益校正、散射校正、坏点修复）。

1. 滤波：对投影数据进行一维傅里叶变换，乘以Ram-Lak 滤波器（或 Shepp-Logan 滤波器）抑制高频噪声和伪影，再经傅里叶逆变换得到滤波后的投影。

• Ram-Lak 滤波器的频率响应为|ω|，可增强边缘信息，但对噪声敏感；

• Shepp-Logan 滤波器通过 sinc 函数平滑|ω|，在分辨率与噪声间取得平衡。

1. 反投影：将滤波后的投影数据沿原投影路径反向叠加到图像矩阵的对应像素上，即：

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μ(x,y) = ∫₀^π p'(θ, xcosθ + ysinθ)dθ

其中p'(θ, t)为滤波后的投影数据。

FBP 的优势是计算速度快（可实时重建），但在低剂量扫描（噪声大）或投影角度不足（如快速扫描）时，图像质量显著下降，伪影明显。

2.2 迭代重建算法（Iterative Reconstruction, IR）

迭代重建通过模型匹配与优化逐步逼近真实衰减系数分布，对噪声和不完全投影数据的鲁棒性更强，核心步骤为：

1. 系统矩阵建模：构建投影矩阵A，其中A(i,j)表示第j个像素对第i个投影射线的贡献（几何衰减关系）。

1. 初始估计：设定初始图像μ⁰（如 FBP 重建结果）。

1. 迭代更新：基于数据一致性和先验约束，最小化目标函数：

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μ* = argmin{ ||Aμ - p||² + βR(μ) }

其中，||Aμ - p||²为数据保真项（衡量重建投影与实测投影的差异），R(μ)为正则化项（引入先验知识抑制噪声和伪影），β为平衡系数。

1. 收敛判断：当迭代误差小于阈值或达到最大迭代次数时，停止迭代。

常见的迭代算法包括：

• 代数重建技术（ART）：逐行修正像素值，适合稀疏投影数据。

• 统计迭代重建（SIR）：基于泊松噪声模型（X 射线光子计数特性），如最大似然期望值最大化（MLEM）算法。

• 基于压缩感知的迭代重建：采用L1正则化（R(μ) = ||μ||₁），利用图像的稀疏性（如边缘稀疏），在极低剂量下仍能保持图像质量。

迭代重建的图像质量优于 FBP，但计算复杂度高（通常是 FBP 的 10-100 倍），需高性能计算硬件支持。

⛳️ 运行结果

📣 部分代码

% You can play with steps (deafault 1):

step = 1;

angles = 1:step:theta;

sg = zeros(size(img, 1), length(theta));

for i = 1:length(angles)

    sg(:, i) = sum(imrotate(img, -angles(i), 'bilinear', 'crop'));

🔗 参考文献

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