【高等数学-第六章】【强化之综合习题】微分方程及其应用

零. 公式

1. 一阶线性微分方程
   

2. 常系数齐次线性微分方程：通解
   
   e的指数系数和三角函数系数组成共轭复根

3. 非齐次微分方程：特解
   

• 右式形式与特征根相匹配，则有一个多的x次方，
• m最高次，比如：f=sinx可设解为（asinx+bcosx）。最高次是常数，所以cosx也在形式中。

一. 选择

1. 根据根推导原方程

1. 高阶线性方程
   根据根的情况得出特征方程，进而得出微分方程。
   

2. 用解+右推解的结构

2. 二阶：齐次通解推断非齐次通解
   a. 由通解形式，得特征方程，得到齐次通解
   b. 由非齐次右式，得特解形式，带入得特解
   c. 现在得非齐次通解形式，带入条件得通解。
   

3. 不用公式：消除常数求原方程

3. 一阶：由通解推断非齐次，不能用公式，需变换求导
   

4. 不用公式：解带入求

4. 一阶：由解的式子推解，不能用公式。
   

 

二. 填空题

1. 凑一阶微分方程形式

1. 化为一阶线性微分方程
   1/y的积分只要出现ln就加绝对值。

3. 凑一阶线性微分方程的形式：
   碰见ln就加上绝对值，化简后就可以去掉。

5. 对，找替换变量
   

 

2. 分离变量法求原函数

4.1. 分离变量求原函数：y/x常见变换。
4.2. 带入题目条件，解出常数值。

 

3. 求非齐次特解步骤

1. 特征方程得齐次通解
2. 特征方程的根设非齐次特解形式，带入得特解（此特解仅符合某一类，不具备通解的特解能力）
3. 构成非齐次通解，根据题目条件解出符合条件的特解。

 

6. 复合非齐次特解

a. 先求特征方程解，然后求通解形式，
b. 右式分开求特解，特解要消参。
注意：分开求解

7. 对
   由通解，求两个特解。
   

 

典型例题，不使用微分公式，

• a也是一个变量，消掉x，对a求导
• 2fxf’x=$f{{}^2}^{\prime }x$

 

三. 解答题

 

1. 利用导数定义求解

1. 此形式使用导数定义
2. 善于使用导数定义化简：比如f(0)的导数。

注意0不能随便消，否则你会得出复根。

 

2. 复合函数求导+常系数微分方程

一道题的局观：分步思路
有思路做就不会慢

2. 对。
   注意复合函数的二次求导
   

3. 反函数求导+常系数微分方程
   

 

抽象微分方程

由微分方程定义出发

4. 重点在于使用微分方程解的定义
   4.1. 由微分方程特解形式可知齐次通解结构，非齐次特解形式，

a. 通解结构：可以求得方程左边系数
b. 非齐次特解形式：带入方程对比求得右边系数
求通解：齐次通解+特解。可以直接求得。

利用一阶线性微分方程的定义

5. 对：利用一阶线性微分方程求解
   利用一阶微分方程得积分公式
   注意：积分不为无穷的时候。

 

微分方程（求导）作为一种积分简化手段

思路：求导去积分符号，得微分方程，通过微分方程求fx。

7. 思路对，
   注意：参数变换时，x对于积分来说是常数，所以可以提取出来。
   一下就是求导，求微分方程的通解：

1. 齐次通解：特征方程、根
2. 非齐次特解：特征根决定特解形式。设好形式带入方程，求未知参数。
3. 由题目条件求特解
   

注意技巧：

1. 导函数和原函数有关系，求出一个未知量
2. 积分有一个特殊值，可以求出一个未知量。
   

 

微分方程的应用