二分、三分、01分数规划【第I弹】

*大祺

已于 2023-03-11 01:17:38 修改

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分类专栏：基础二分文章标签： c++ 算法二分

于 2022-07-23 01:45:13 首次发布

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二分

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一、二分

1.对不同板子的理解

【听说二分很容易写歪，细节要注意，接下来的几种写法，建议是选中一个自己熟悉的就一直只写这个，免得写混，不过还是要好好理解】

要避免“死循环”的出现，就是要让每一次的执行都有所改变，而不是判断之后相当于什么也没做，具体到代码就是 l 和 r 要移动，那为什么会死循环呢？因为我们的 mid = ( l + r )/2是“整除”啊，是“向下取整”，当 r==l+1 时，mid 会等于其中较小的那一个，也就是 l ，这时候如果右边的代码也写成 mid = ( l + r )/2 ，那么会在 l = mid 这里进入死循环（把 l 赋值为 l ,你干了个啥.）【可以拿数列 3 3 3 做下模拟】关于最终答案：找等号嘛，最后一次执行的mid就是x的下标啦，然后左边的就是 r ,右边的就是 l.

再来看一类写法：直接舍弃 mid ,不考虑那么多，每次 l = mid + 1 , r = mid - 1 , 那么区间就一定是在缩小的：

注意啦！这里while的条件里要等号

那，我们最终答案写什么，看等号，对于上图左边的代码，if ( a[mid]>= x) r = mid - 1 ;最终 mid 是答案所以我们输出的就是 r + 1, 或者可以看下面那一句，a[mid] < x 时， l = mid +1 ,这里最后一次的mid 小于 x ,那就是比x小1，所以答案也是 l , 右边就是 l - 1 ,或者 r.

还有就是，(l+r)有一种更安全的写法来防止溢出的：l + (r-l)/2 ;

lower_bound是找大于等于x的第一个数的位置，upper_bound可用来找大于x的第一个数,记得减去数组名（因为返回的是迭代器（类似指针），减去数组名（首地址）就得到下标了）。。

【上面就算排序下标从1开始，后面也不要多减一...因为你减的是地址得到一个你现在的下标，本来就是从多一的开始了，自然没必要减啊。。】

例题一：

A-[USACO 2009 Dec S]Music Notes_

题意：牛依次敲（奏）n个音符，给出每个音符分别要（连续）弹奏多长时间，Q次询问，每次询问给个T,问T~T+1时间牛牛们要敲哪个音。

思路：一个前缀和，然后标准二分思路，都不用自己写了，用现成函数就好。

AC代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int M=5e4+6;
int n,q,a[M];
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>n>>q;
	int i,x,t;
	for(i=1;i<=n;i++){
		cin>>x;
		a[i]=a[i-1]+x;
	}
	while(q--){
		cin>>t;
		cout<<upper_bound(a+1,a+1+n,t)-a<<'\n';
	}
	return 0;
}

超级经典二分题！！！Drying !

Drying - POJ 3104 - Virtual Judge (vjudge.net)

题意：有 n 件衣服，每件衣服含有一定水分，有自然晾干和拿吹风机吹干两种方式，晾干是每分钟减少一单元水，吹风机是每分钟使其减少 k 份水（这一分钟只能吹一件，不能换另一件衣服吹，衣服水分变为0后不会有变化）问最少多少分钟能把衣服全部弄干。

思路：这题满足单调性，即可二分结果，假设x时间为答案，那么比答案大的（判断的是"mid"时间），计算出的要花的时间就会比你预想的时间mid 少（即有时间剩余，所以我们这个答案大了，就该缩小，区间右边界左移，反之亦然）

虽然说这里的k是包含了自然风干的水分的（即这段时间干的就是k不是k+1）但千万注意这里除的是 (k-1)，www为什么呢，咱就是说凡事推推公式好处多多一目了然，不要想当然。->设总时间为x , t 为吹风机时间，kt + (x-t) >=a[i] , kt-t >= a[i]-x , (k-1)t >=a[i]

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int M=1e5+6;
ll n, k, a[M], sum;
bool check(int x){
	int i=upper_bound(a+1,a+1+n,x)-a;//找到第一个需要使用吹风机的位置 
	sum=0;
	for(;i<=n;i++)sum+=(a[i]-x+k-2)/(k-1);//加个k-2是为了向上取整，也可以用ceil函数 
	return sum<=x?1:0;//计算的时间比设定的小，就返回真 
}
int main(){
	scanf("%lld",&n);//POJ卡cin.... 
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",a+i);
	sort(a+1,a+1+n);
	scanf("%lld",&k);
	if(k==1){printf("%lld",a[n]);return 0;}
	int l=1, r=1e9;
	while(l<r){//二分板子之一，不熟悉就看看上文吧 
		int mid=l+r>>1;
		if(check(mid))r=mid;
		else l=mid+1;
	}
	printf("%d",r);
	return 0;
}