【蓝桥杯省赛 CB H 题解】

最新推荐文章于 2025-05-29 09:42:53 发布

慕容青峰

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分类专栏：蓝桥杯动态规划文章标签：蓝桥杯算法 c++ sublime text

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由于异或的优先级最高，我们可以将表达式划分为若干个异或和的加减运算，这里我们仅考虑划分为 $s + x$ ，其中 $x$ 表示最后一段异或和， $s$ 表示除了 $x$ 的前缀和。

考虑 $\rm{dp}$ 维护三个信息：

$d p s [i]$ 表示 $[0, i)$ 里的所有添加方案的前缀和之和；
$d p x [i]$ 表示 $[0, i]$ 里所有添加方案的后缀异或和之和；
$c n t [i]$ 表示向 $[0, i]$ 添加运算符的合法方案数。

考虑想要在 $i$ 之后插入运算符的状态转移。

若为 $+$ ，则应该有
- $d p s [i + 1] = d p s [i] + d p x [i]$ ，表示将上文中的 $s + x$ 加入总和；
- $\times A[i + 1]$ ，表示后缀异或和换成单独的一个 $A [i + 1]$ ，不过要乘上方案数 $c n t [i]$ 。
若为 $-$ ，则应该有
- $d p s [i + 1] = d p s [i] + d p x [i]$ ，表示将上文中的 $s + x$ 加入总和；
- $\times -A[i + 1]$ ，表示后缀异或和换成单独的一个 $A [i + 1]$ ，不过要乘上方案数 $c n t [i]$ 。
若为 $\oplus$ ，则应该有
- $d p s [i + 1] = d p s [i]$ ，表示将上文的 $s$ 加入总和；
- $\oplus A[i + 1]$ ，表示所有后缀异或和都需要再异或一个 $A [i + 1]$ 。

三者合起来，发现 $c n t [i]$ 抵消，不用维护，得到最终的转移方程。

$d p s [i + 1] = 2 (d p s [i] + d p x [i]) + d p s [i],$
$\oplus A[i + 1].$

初始状态。

$d p s [0] = 0,$
$d p x [0] = A [0] .$

最终答案为 $d p s [N - 1] + d p x [N - 1]$ 。

时间复杂度 $O (n)$

C++ Code

#include <bits/stdc++.h>

using i64 = long long;

template<class T>
std::istream &operator>>(std::istream &is, std::vector<T> &v) {
    for (auto &x: v) {
        is >> x;
    }
    return is;
}

template<class T>
constexpr T power(T a, i64 b) {
    T res = 1;
    for (; b; b /= 2, a *= a) {
        if (b % 2) {
            res *= a;
        }
    }
    return res;
}
template<int P>
struct MInt {
    int x;
    constexpr MInt() : x{} {}
    constexpr MInt(i64 x) : x{norm(x % getMod())} {}
     
    static int Mod;
    constexpr static int getMod() {
        if (P > 0) {
            return P;
        } else {
            return Mod;
        }
    }
    constexpr static void setMod(int Mod_) {
        Mod = Mod_;
    }
    constexpr int norm(int x) const {
        if (x < 0) {
            x += getMod();
        }
        if (x >= getMod()) {
            x -= getMod();
        }
        return x;
    }
    constexpr int val() const {
        return x;
    }
    explicit constexpr operator int() const {
        return x;
    }
    constexpr MInt operator-() const {
        MInt res;
        res.x = norm(getMod() - x);
        return res;
    }
    constexpr MInt inv() const {
        assert(x != 0);
        return power(*this, getMod() - 2);
    }
    constexpr MInt &operator*=(MInt rhs) & {
        x = 1LL * x * rhs.x % getMod();
        return *this;
    }
    constexpr MInt &operator+=(MInt rhs) & {
        x = norm(x + rhs.x);
        return *this;
    }
    constexpr MInt &operator-=(MInt rhs) & {
        x = norm(x - rhs.x);
        return *this;
    }
    constexpr MInt &operator/=(MInt rhs) & {
        return *this *= rhs.inv();
    }
    friend constexpr MInt operator*(MInt lhs, MInt rhs) {
        MInt res = lhs;
        res *= rhs;
        return res;
    }
    friend constexpr MInt operator+(MInt lhs, MInt rhs) {
        MInt res = lhs;
        res += rhs;
        return res;
    }
    friend constexpr MInt operator-(MInt lhs, MInt rhs) {
        MInt res = lhs;
        res -= rhs;
        return res;
    }
    friend constexpr MInt operator/(MInt lhs, MInt rhs) {
        MInt res = lhs;
        res /= rhs;
        return res;
    }
    friend constexpr std::istream &operator>>(std::istream &is, MInt &a) {
        i64 v;
        is >> v;
        a = MInt(v);
        return is;
    }
    friend constexpr std::ostream &operator<<(std::ostream &os, const MInt &a) {
        return os << a.val();
    }
    friend constexpr bool operator==(MInt lhs, MInt rhs) {
        return lhs.val() == rhs.val();
    }
    friend constexpr bool operator!=(MInt lhs, MInt rhs) {
        return lhs.val() != rhs.val();
    }
};
 
template<>
int MInt<0>::Mod = 998244353;
 
template<int V, int P>
constexpr MInt<P> CInv = MInt<P>(V).inv();
 
constexpr int P = 1000000007;
using Z = MInt<P>;

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(nullptr);
    
    int N;
    std::cin >> N;

    std::vector<int> A(N);
    std::cin >> A;

    std::vector<Z> dps(N);
    std::vector<int> dpx(N);
    dpx[0] = A[0];

    for (int i = 0; i + 1 < N; i++) {
        dps[i + 1] += 2 * (dps[i] + dpx[i]) + dps[i];
        dpx[i + 1] = dpx[i] ^ A[i + 1];
    }
    std::cout << dps.back() + dpx.back() << "\n";
    
    return 0;
}