牛客周赛 Round 70 F 题解

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题目大意

Definition1

我们认为非空数组 $a$ 是好的，当且仅当 $a$ 满足下列其中一个条件：

• $|a|=1$；
• $\forall i\in [1,|a|]$，一定存在 $j\in [1,i)\cup (i,|a|]$，有 $a_i\mid a_j$ 或 $a_j\mid a_i$。

其中 $|a|$ 表示数组 $a$ 的长度，$x\mid y$ 表示 $x$ 整除 $y$，例如 $2$ 能整除 $4$。

Definition2

我们定义数组 $a$ 是极好的，当且仅当 $a$ 的任意非空连续子数组都是好的。

例如连续子数组 $a[l...r]$ 表示 $a_l,a_{l+1},\cdots ,a_r$，其中 $1⩽l⩽r⩽|a|$。

Definition3

我们定义数组 $a$ 加上整数 $x$ 的结果为 $a^{\prime }$，即令 $a^{\prime }=a+x$，$a^{\prime }$ 需要满足：

• $|a^{\prime }|=|a|$；
• 对 $\forall i\in [1,|a|]$，均有 $a_i^{\prime }=a_i+x$。

Question

共 $T$ 组数据，每组数据给定一个数组 $a$ 和一个正整数 $k$，求有多少整数 $x\in [1,k]$ 满足 $a+x$ 是极好的数组。

数据范围

• $1⩽|a|\cdot T⩽6\times 10^4$；
• $1⩽a_i,k⩽10^9$。

Solution

根据定义，我们可以得到数组 $a$ 是极好的 的充要条件：对 $\forall i\in [1,|a|)$，均有 $a_i\mid a_{i+1}$ 或 $a_{i+1}\mid a_i$。

下面来证明一下。

充分性（$\Leftarrow$）：

首先，数组 $a$ 只要满足 $|a|=1$ 就是好的，也是极好的。
再设 $a[l...r]$ 这个子数组是好的，由上述条件，可以推出 $a[l...(r+1)]$是好的，因为 $a_r\mid a_{r+1}$ 或 $a_{r+1}\mid a_r$。
由数学归纳法，$a$ 的任意连续子数组是好的，那么 $a$ 就是极好的。

必要性（$\Rightarrow$）：

若数组 $a$ 是极好的，可以得到 $a$ 的任意连续子数组是好的，那么长度为 $2$ 的连续子数组也是好的，换句话说就是，对 $\forall i\in [1,|a|)$，都有 $a_i\mid a_{i+1}$ 或 $a_{i+1}\mid a_i$（根据好数组的定义）。

有了这个充要条件，我们就可以 $O(|a|)$ 判断数组 $a$ 是否是极好的。

但现在要判断的是 $a+x$ 是否极好，暴力枚举是 $O(10^9|a|)$，因此还需要进一步挖掘性质。

首先，如果 $a$ 的所有元素都相同，那么 $a$ 一定是极好的，且 $a+x$ 也一定是极好的，这种情况下 $x$ 有 $k$ 种选法。

下面考虑 $a$ 存在不同元素的情况。

根据充要条件，我们需要对相邻两项的整除关系做限制，所以我们可以先考虑用其中一个 $a_i$ 和 $a_{i+1}$ 来限制 $x$ 的选取。下面进行详细说明。

令 $a^{\prime }=a+x$，若 $a^{\prime }$ 是极好的，说明任意一个长度为 $2$ 的连续子数组都是好的，且由于 $a$ 存在不同元素，所以我们一定可以在某个 $i\in [1,|a|)$ 取这样两个数：

• 令 $u=\min (a_i,a_{i+1}),v=\max (a_i,a_{i+1})$，满足 $u<v$。

由 $a^{\prime }$ 是极好的可以得到 $(u+x)\mid (v+x)$，那么就有 $(v+x)=t(u+x)(t>1)$，那么就有 $v-u=(t-1)(u+x)$，令 $d=v-u$，会得到 $(u+x)\mid d$，即 $u$ 加上一个 $x$ 后是 $d$ 的约数。

反过来说，我们可以找到这样的 $u,v$，然后枚举 $d=v-u$ 的约数 $div$（即上一段的 $(u+x)$），看其是否满足 $div>u$ 且 $div⩽u+k$，如果是，那说明 $x=div-u$，再用上面的充要条件 $O(n)$ 判断 $a+x$ 是否是极好的。

时间复杂度 $O(n\sqrt{V})$

• 其中 $V$ 为值域范围，题中 $V=10^9$；
• 但其实复杂度远远达不到 $\sqrt{V}$，因为对于 $10^9$ 内的数，其约数个数最大为 $1344$；
• 总复杂度跑满的话计算量大约是 $10^8$。

C++ Code

#include <bits/stdc++.h>

using i64 = int64_t;

void solve() {
    int n, k;
    std::cin >> n >> k;

    std::vector<int> a(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        std::cin >> a[i];
    }

    int u = -1;
    int v = -1;
    for (int i = 0; i + 1 < n; i++) {
        if (a[i] != a[i + 1]) {
            u = std::min(a[i], a[i + 1]);
            v = std::max(a[i], a[i + 1]);
            break;
        }
    }
    int d = v - u;

    if (d == 0) {
        std::cout << k << " " << k * (k + 1LL) / 2 << "\n";
        return;
    }

    int cnt = 0;
    i64 sum = 0;
    auto work = [&](int x) {
        x -= u;
        if (x <= 0 or x > k) {
            return;
        }
        auto b = a;
        for (int &y: b) {
            y += x;
        }
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            if (std::max(b[i], b[i - 1]) % std::min(b[i], b[i - 1])) {
                return;
            }
        }
        cnt++;
        sum += x;
    };
    for (int i = 1; i * i <= d; i++) {
        if (d % i == 0) {
            work(i);
            if (i * i != d) {
                work(d / i);
            }
        }
    }
    std::cout << cnt << " " << sum << "\n";
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(nullptr);
    
    int T = 1;
    std::cin >> T;
    
    while (T--) {
        solve();
    }
    
    return 0;
}