数字信号处理笔记——频域中的离散时间信号

Motivation

• 为什么要在变换域中表示和处理信号？
  任何连续的周期信号都可以表示成一系列正弦信号的叠加。这表明，在频域信号中，任何复杂信号都是由一系列正弦波组成，许多在时域中根本无法分析的信号在频域中可以得到很好的解决。
  傅里叶变换的四种类型：
  

1 连续时间傅里叶变换

1.1 定义

连续时间信号$x_a(t)$的频域表示有连续时间傅里叶变换（CTFT）给出：
$$X_a(\Omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }{x}_a(t)e^{-j\Omega t}dt$$
CTFT是一种将信号$f(t)$从时域转换到频域的线性变换
傅里叶变换$X(\Omega )$的逆 CTFT：
$$x_a(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }{X}_a(j\Omega )e^{j\Omega t}d\Omega$$
CTFT通常都是角频率$\Omega$在范围$-\infty <\Omega <\infty$内的复函数，可用极坐标表示：
$$X_a(j\Omega )=|X_a(j\Omega )|e^{j{\theta }_a(\Omega )}$$
其中：
θ a ( Ω ) = a r g { X a ( e j Ω ) } \theta_a (\Omega ) = arg\{ X_a({e^{j\Omega }})\} θa​(Ω)=arg{Xa​(ejΩ)}
$|X_a(j\Omega )|$和${\theta }_a(\Omega )$分别称为幅度谱和相位谱。
一般来说，若连续时间函数$x_a(t)$满足狄利克雷条件：

(a)在任何一个有限的区间内，信号具有有限个不连续点，且极值数目有限。
(b)信号绝对可积，即若

$${\int }_{-\infty }^{\infty }|x_a(t)|dt<\infty$$
则CTFT存在。

1.2 能量密度谱

一个有限能量的连续时间信号$x_a(t)$的总能量${\xi }_x$为:
$${\xi }_x={\int }_{-\infty }^{\infty }|x_a(t){|}^{2}dt={\int }_{-\infty }^{\infty }{x}_a(t)x_a^{\ast }(t)dt$$
能量还可以用CTFT来定义：
$${\xi }_x=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }|X_a(j\Omega ){|}^{2}d\Omega$$
由上式可以得到：
$${\int }_{-\infty }^{\infty }|x_a(t){|}^{2}dt=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }|X_a(j\Omega ){|}^{2}d\Omega$$
即帕塞瓦尔定理

2 离散时间傅里叶变换

2.1 定义

离散时间信号$x[n]$的DTFT由下式给出：
$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]e^{-j\omega n}$$
傅里叶变换$X(e^{j\omega })$的逆DTFT表示为：
$$x[n]=\frac{1}{2\pi }{\int }_{n=-\pi }^{\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega n}d\omega$$

2.2 基本性质

一般来说，傅里叶变换$X(e^{j\omega })$都是实变量$\omega$的复函数，写成直角坐标形式为：
$$X(e^{j\omega })=X_{re}(e^{j\omega })+j{X}_{im}(e^{j\omega })$$
也可以写成极坐标形式：
$$X(e^{j\omega })=|X(e^{j\omega })|e^{j\theta (\omega )}$$
其中：
θ ( ω ) = a r g { X ( e j ω ) } \theta (\omega ) = arg\{ X({e^{j\omega }})\} θ(ω)=arg{X(ejω)}
$|X(e^{j\omega })|$和$\theta (\omega )$分别称为幅度谱和相位谱。

2.3 对称关系

实数序列的对称关系

实序列的DTFT满足共轭对称：
$$X^{\ast }(e^{j\omega })=(\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]e^{-j\omega n}{)}^{\ast }=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]e^{j\omega n}=X(e^{j\omega })$$

• 实部和振幅是关于$\omega$的偶函数

$$X_{re}(e^{j\omega })=X_{re}(e^{-j\omega }),|X_{re}(e^{j\omega })|=|X_{re}(e^{-j\omega })|$$

• 虚部和相位是关于$\omega$的奇函数

$$X_{im}(e^{j\omega })=-X_{im}(e^{-j\omega }),\theta (\omega )=-\theta (-\omega )$$

复数序列的对称关系

• 共轭$x^{\ast }[n]$的DTFT为：

$$x^{\ast }[n]=X^{\ast }(e^{-j\omega })$$

• 时域翻转$x[-n]$的DTFT为：

$$x[-n]=X(e^{-j\omega })$$

2.4 收敛条件

$x[n]$的傅立叶变换$X(e^{j\omega })$：
$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]e^{-j\omega n}$$
如果以上无穷级数在某种意义上收敛，则称 x[n] 的 DTFT 存在

计算$X(e^{j\omega })$涉及到无限求和，因此可能收敛也可能不收敛：
$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]e^{-j\omega n}$$
定义：
$$X_K(e^{j\omega })=\sum _{n=-K}^{K}x[n]e^{-j\omega n}$$
对$X(e^{j\omega })$的一致收敛，满足以下条件：
$$\underset{K\to \infty }{\lim }|X(e^{j\omega })-X_K(e^{j\omega })|=0$$
如果$x[n]$是绝对可和序列，即若：
$$\sum _{n=-\infty }^{\infty }|x[n]|<\infty$$
那么
$$|X(e^{j\omega })|=|\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]e^{-j\omega n}|⩽\sum _{n=-\infty }^{\infty }|x[n]|<\infty$$
x[n]的绝对可和是其傅里叶变换$X(e^{j\omega })$存在的充分条件
平方可和: 如果X[n]满足：
$$\sum _{n=-\infty }^{\infty }|x[n]{|}^2<\infty$$
则x[n] 被称为有限能量序列

有限能量序列不一定满足绝对可和

为了表示有限能量等序列，需要考虑$X(e^{j\omega })$的均方收敛：
$$\underset{k\to \infty }{\lim }{\int }_{-\pi }^{\pi }|X(e^{j\omega })-X_K(e^{j\omega }){|}^{2}d\omega =0$$
有限能量序列x[n]的$X(e^{j\omega })$满足均方收敛。

均方收敛能确保能量接近零，但不能保证一致收敛，

特殊序列：
既不是绝对可和也不是平方可和的序列：

• 常数序列：$x[n]=1,\forall n\in Z$

• 阶跃序列：$x[n]=\mu [n]$

• 正弦序列：$x[n]=cos({\omega }_{0}n)$
  利用狄拉克函数$\delta (\omega )$定义其DTFT：
  $${\int }_{-\pi }^{\pi }\delta (\omega )d\omega =1,\delta (\omega )=0,\forall \omega \ne 0$$
  $$1⟷\sum _{k=-\infty }^{\infty }2\pi \delta (\omega +2\pi k)$$
  $$\mu [n]⟷\frac{1}{1-e^{-j\omega }}+\sum _{k=-\infty }^{\infty }\pi \delta (\omega +2\pi k)$$
  $$cos({\omega }_{0}n)⟷\sum _{k=-\infty }^{\infty }\pi [\delta (\omega -{\omega }_0+2\pi k)+\delta (\omega +{\omega }_0+2\pi k)]$$
  总结：

• 绝对可和序列一定满足一致收敛条件，其 DTFT 变换存在;

• 平方可和序列（能量信号）一定满足均方收敛条件，其 DTFT 在均方误差意义下存在;

• 存在一类既不满足绝对可和、也不满足平方可和条件的序列，可以通过狄拉克$\delta (\omega )$函数引入它们的 DTFT 变换。

2.5DTFT的强度

傅里叶变换$X(e^{j\omega })$的强度由该信号序列的范数（norm）来确定：
$$Lp范数:\Vert x{\Vert }_p=(\sum _{-\infty }^{\infty }|x[n]{|}^p{)}^{1/p}$$

3 CTFT与DTFT的关系

(1) CTFT TO DTFT

• 推导思路：$x_p(t)$ 的 CTFT =⇒ x[n] 的 DTFT
• 采样信号： $x_p(t)={\sum }_{n=-\infty }^{\infty }{x}_a(t)\delta (t-nT)={\sum }_{n=-\infty }^{\infty }x[n]\delta (t-nT)$

(2)DTFT(连续性，周期性）
序列的 DTFT 为：

• 关于 ω 的连续函数
• 关于 ω 的周期为 2π 的周期函数

(3)CTFT VS DTFT
运算：积分                        运算：求和
时域：连续非周期             时域：离散非周期
频域：连续非周期             频域：连续周期

（4）总结

• DTFT 变换的定义
  $$X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]e^{-j\omega n}$$
• DTFT 变换与 CTFT 变换的关系
  • 对离散时间信号做 CTFT 变换 ⇒ 序列的 DTFT 变换
  • CTFT 角频率 Ω 和 DTFT 归一化频率 ω 的关系：ω = ΩT
• 因果指数序列$x[n]={\alpha }^n\mu [n]$, |α| < 1 的 DTFT 变换为
  $$X(e^{j\omega })=\frac{1}{1-\alpha e^{j\omega }}$$
• 通过调用 Matlab 中的freqz来计算序列的 DTFT 变换

4 离散时间傅里叶变换定理

1、线性定理
$$a{x}_1[n]+b{x}_2[n]⟷a{X}_1(e^{j\omega })+b{X}_2(e^{j\omega })$$

2、时间反转定理
$$x[-n]=X(e^{-j\omega })$$

3、时移定理
$$x[n-n_0]=e^{-j\omega n_0}X(e^{j\omega })$$

4、频移定理
$$e^{j\omega n_0}x[n]=X(e^{j(\omega -{\omega }_0)})$$

5、共轭定理
$$x^{\ast }[n]=X^{\ast }(e^{-j\omega })$$

6、频域微分定理
$$nx[n]⟷j\frac{dX(e^{j\omega })}{d\omega }$$

7、卷积定理
$$g[n]\ast h[n]⟷G(e^{j\omega })H(e^{j\omega })$$

8、调制定理
$$g[n]h[n]⟷\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }G(e^{j\theta })H(e^{j(\omega -\theta )})d\theta$$

9、帕塞瓦尔定理
$$\sum _{n=-\infty }^{\infty }|x[n]{|}^2=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }|X(e^{j\omega }){|}^{2}d\omega$$

5 离散时间序列的能量密度谱

有限能量序列$x[n]$的总能量为：
$${\xi }_x=\sum _{n=-\infty }^{\infty }|x[n]{|}^2$$
由帕塞瓦尔定理可得：
$${\xi }_x=\sum _{n=-\infty }^{\infty }|x[n]{|}^2=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }|X(e^{j\omega }){|}^{2}d\omega$$
因此，序列$x[n]$的能量可以通过求等号右边的积分来得到。
$$S_{xx}(e^{j\omega })=|X(e^{j\omega }){|}^2$$
上式称为序列$x[n]$的能量密度谱。在$-\pi ⩽\omega <\pi$范围内该曲线下的面积再除以$2\pi$就是这个序列的能量。

6 连续时间信号的数字处理

DSP系统完整框图:

数字信号处理系统更多处理的是物理环境下的模拟信号

6.1 时域抽样在频移中的影响

抽样运算在数学上可以表示为连续时间信号$x_a[t]$和一个周期冲激串$p(t)$的乘积：
$$x_p(t)=x_a(t)p(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{x}_a(nT)\delta (t-nT)$$
$x_p(t)$的连续时间傅里叶变换$X_p(j\Omega )$有两种不同的形式，一种形式为：
$$X_p(j\Omega )=\sum _{n-\infty }^{\infty }{x}_a(nT)e^{j\Omega nT}$$
另一种形式可以通过泊松方程
$$\sum _{n-\infty }^{\infty }\varphi (t+nT)=\frac{1}{T}\sum _{k-\infty }^{\infty }\Phi (jk{\Omega }_T)e^{jk{\Omega }_{T}t}$$
求得：
$$X_p(j\Omega )=\frac{1}{T}\sum _{k-\infty }^{\infty }{X}_a(j(\Omega +k{\Omega }_T))$$
由上式可以得到，$X_p(j\Omega )$是频率$\Omega$的一个周期函数，他是由$X_a(j\Omega )$通过平移和幅度缩放得到的各频谱分量之和组成。频率范围$-{\Omega }_T⩽\Omega <{\Omega }_T/2$称为基带或奈奎斯特频带。
抽样定理：
设$x_a(t)$是一个当$|\Omega |>{\Omega }_m$时$X_a(j\Omega )=0$的带限信号，若：
$$\frac{2\pi }{T}={\Omega }_T⩾2{\Omega }_m$$
则通过其样本$x_a(nT)$,可以唯一地确定$x_a(t)$。通常将上式称为奈奎斯特条件，频率$2{\Omega }_m$称为奈奎斯特频率。它确定从抽样形式中完全恢复出$x_a(t)$的最小抽样频率${\Omega }_T=2{\Omega }_m$。
若抽样频率高于奈奎斯特频率，该抽样是过抽样；若抽样频率低于奈奎斯特频率，则该抽样是欠抽样；若抽样频率等于奈奎斯特频率，则该抽样是临界抽样。

6.2 模拟信号的恢复

若离散时间序列$x[n]$是以满足奈奎斯特条件的抽样率${\Omega }_T=2\pi /T$对最高频率为${\Omega }_m$的一个带限连续时间信号$x_a(t)$均匀抽样得到的，则可以将抽样得到的冲激序列$x_p(t)$通过满足${\Omega }_m<{\Omega }_c<({\Omega }_T-{\Omega }_m)$的截止频率为${\Omega }_c$、增益为T的一个理想低通滤波器$H_r(j\Omega )$,来完全恢复出原连续时间信号$x_a(t)$。

7 带通信号的抽样

在某些应用中，被抽样信号是频谱带限到更高频率范围${\Omega }_L⩽|\Omega |⩽{\Omega }_H$中的带通信号，其中${\Omega }_L>0$，这样的信号可以用一个低通信号调制得到。对于这种信号，也可以用大于最高频率的两倍的抽样率进行抽样，即通过：
$${\Omega }_T⩾2{\Omega }_H$$
来防止混叠。但是，由于连续时间信号的带通频谱，通过抽样得到的离散时间信号的频谱将存在间隔。此外，若${\Omega }_H$很大，则抽样率也必须很大，因此这种方法不是很实用。
更实用且更有效的方法：
定义$\Delta {\Omega }_{=}{\Omega }_H-{\Omega }_L$为带通信号的带宽，假设信号的最高频率${\Omega }_H$是带宽的整数倍，选择抽样率${\Omega }_T$满足条件：
$${\Omega }_T=2(\Delta \Omega )=\frac{2{\Omega }_H}{M}$$
它比奈奎斯特频率要小。
在实际工程中，常使用另一种抽样率：
$${\Omega }_T=\frac{2({\Omega }_L+{\Omega }_H)}{2n+1}⩾2(\Delta \Omega )$$
在这种情况下，会在抽样信号各频谱分量之间留出一个小的间隔，方便滤波器的设计。