【信号与系统】DTFT离散时间傅里叶变换

DTFT离散时间傅里叶变换

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基本公式

DTFT即为z平面单位圆上的z变换
得到的是在z平面单位圆上的连续函数
z平面自带周期性
序列在时域是离散的，在频域（$j\omega$轴）上表现出周期性
傅里叶级数中时域是周期的，所以频域是离散的
所以周期函数可以表示为不同（离散）频率波的叠加
z = e j ω   D T F T [ x ( n ) ] = ∑ n = − ∞ ∞ x ( n ) e − j ω n   逆 变 换 : I D T F T [ X ( e j ω ) ] = 1 2 π ∫ − π π X ( e j ω ) e j ω n d ω z=e^{j\omega}\\\ \\ \mathcal{DTFT}[x(n)]=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)e^{-j\omega n}\\\ \\ 逆变换 :\mathcal{IDTFT}[X (e^{j\omega})]=\frac 1 {2\pi}\int_{-\pi}^\pi X(e^{j\omega})e^{j\omega n}d\omega z=ejω DTFT[x(n)]=n=−∞∑∞​x(n)e−jωn 逆变换:IDTFT[X(ejω)]=2π1​∫−ππ​X(e