动态规划入门 牛牛的数列

牛牛的数列

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思路：

动态规划，这个题十分相似于求最长连续上升子序列，但这个题多增加了一个条件，可以允许修改任意数一次，再求出最长连续上升子序列。这个多出来的条件相当于设置了一个断点，将整个数列分成了左右俩部分。

右边的部分我们创建一个dp1数组，表示以当前下标为起点的最长连续上升子序列的长度。状态转移方程是：

	if(a[i]<a[i+1]) dp1[i] = dp1[i+1] + 1;
	else dp1[i] = 1;

同理，左边的部分我们创建一个dp2数组，表示以当前下标为终点的最长连续上升子序列的长度。状态转移方程是：

	if(a[i]>a[i-1]) dp2[i] = dp2[i-1] + 1;
	else dp2[i] = 1;

根据动态规划的思想，我们把一个问题划分为更小的问题，从而使其具备可操作性，所以我们对处理边界一定得多加小心，dp2[1]=1, dp1[n]=1

在得到俩个dp数组之后，我们该利用他们来寻找答案了，仅需一个循环
1.当i=1时（左边界）这时的最长连续上升子序列的长度为以2为起点的最长连续上升子序列的长度列加一。
2.当i=n时（右边界）这时的最长连续上升子序列的长度为以n-1为终点的最长连续上升子序列的长度加一。
3.当i位置对应的这个数满足他左边小于他右边且右边减左边大于等于2的时候（为了使i位置的数有得改，例如如果右边只比左边大1，中间这个数就没得改了，改成啥都不满足严格递增条件了），这时的最长连续上升子序列的长度为左边的最长加上右边的最长再加上1。
4.当i位置不满足以上三个条件时，这时的最长连续上升子序列的长度为左边和右边的较大值加上1。

在此附上我的代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

int n;
int a[100005];
int dp1[100005], dp2[100005];
//dp1是以i为起点的最长上升子序列的长度。
//dp2是以i为结尾的最长上升子序列的长度。 
int ans=0;

int main()
{
	cin >> n;
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d", &a[i]);
	dp2[1] = 1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(a[i]>a[i-1]) dp2[i] = dp2[i-1] + 1;
		else dp2[i] = 1;
	}
	dp1[n] = 1;
	for(int i=n-1;i>=1;i--)
	{
		if(a[i] < a[i+1]) dp1[i] = dp1[i+1] + 1;
		else dp1[i] = 1;
	}
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(i==1) ans=max(ans, dp1[1]);
		else if(i==n) ans=max(ans, dp2[n]);
		else if(a[i-1]+1 < a[i+1]) ans = max(ans, dp1[i+1] + dp2[i-1] + 1);
		else ans=max(max(dp1[i+1]+1, dp2[i-1]+1), ans);
	}
	cout << ans;
	return 0;
 } 

谢谢观看！