关于极限lim n阶乘/n^n的若干解法（1）

最新推荐文章于 2025-05-07 09:27:15 发布

m0_46416432

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文章标签：级数收敛审敛法单有准则数学推导无穷级数

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$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n!}{n^{^{n}}}$

1、无穷级数法

可以将 $\frac{n!}{n^{^{n}}}$ 看成无穷数列的第n项，由审敛法可知，

如果 $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{^{a_{n+1}}}{a_{n}}=\rho <1$

则级数 $\sum_{n=1}^{\infty }{a_{n}}$ 收敛

由单有准则可得 $\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=0$

所以有

$\frac{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{n!}{n^n}}=(n+1)\frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}=\frac{1}{(1+\frac{1}{n})^n}$

当n趋近于无穷时,有

$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{(1+\frac{1}{n})^n}=\frac{1}{e}<1$

所以该级数 $\sum_{k=1}^{\infty }\frac{k!}{k^k}$ 收敛，故可得

$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n!}{n^n}=0$

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