洛谷 P1939 【模板】矩阵加速（数列）

最新推荐文章于 2024-08-09 09:00:00 发布

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本文介绍了一种解决特定数列递推问题的方法，通过将递推关系转化为矩阵运算，利用矩阵快速幂技术高效求解数列的第n项，并提供了完整的C++代码实现。

一个数列 $a$ ，满足

$a_x= \begin{cases} 1& x\in\{1,2,3\}\\ a_{x-1}+a_{x-3}& x\ge 4 \end{cases}$

求 $(109+7)a_n\bmod (10^9+7)$

思路：将递推转换为矩阵关系，然后用矩阵快速幂

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define M 1000000007
#define MAXN 2000000010
using namespace std;
typedef long long ll;
int T,n;
struct Mat{
    ll a[4][4];int n;
    Mat(){memset(a,0,sizeof(a));}
    Mat(int _n):n(_n){memset(a,0,sizeof(a));}
    void init(){for(int i=0;i<n;i++)a[i][i]=1;}
    void pre(){a[0][1]=a[1][2]=a[2][0]=a[2][2]=1;}
    Mat operator*(const Mat &b){
        Mat r(n);
        for(int i=0;i<n;i++)
            for(int j=0;j<n;j++)
                for(int k=0;k<n;k++){
                    r.a[i][j]+=a[i][k]*b.a[k][j]%M;
                    r.a[i][j]%=M;
                }
        return r;
    }
};
int main(){
#ifdef WINE
    freopen("data.in","r",stdin);
#endif
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d",&n);
        if(n<=3){printf("1\n");continue;}
        int k=n-3;
        Mat res(3);res.init();
        Mat A(3);A.pre();
        while(k){
            if(k&1)res=res*A;
            A=A*A;k>>=1;
        }
        printf("%lld\n",((res.a[2][0]+res.a[2][1])%M+res.a[2][2])%M);
    }
    return 0;
}