【Codevs3332】数列

最新推荐文章于 2023-10-31 15:00:47 发布

Zhayan9QvQ

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分类专栏：矩阵乘法数学

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本文介绍了一种使用矩阵快速幂的方法来高效求解特定形式的线性递推数列问题。针对形如 a[n] = a[n-3] + a[n-1] 的递推公式，通过构建特定矩阵并利用快速幂运算，可以快速求得数列第 n 项对 10^9+7 取模后的结果。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意

a[1]=a[2]=a[3]=1

a[x]=a[x-3]+a[x-1] (x>3)

求a数列的第n项对1000000007（10^9+7）取余的值。

$答案矩阵\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1\\ \end{matrix} \right]开始，三个为一组，然后特征矩阵 \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 2 \end{matrix} \right]$ 。乘一次就会出三项，然后处理一下n%3就行，主要是矩阵的构造。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>

#define Rep(i,s,t) for(int i=s;i<=t;i++)

using namespace std;

typedef long long LL;

const LL p = 1000000007;

LL n;
int T;

namespace matrix_mul{
    struct matrix{
        LL x[5][5];
    }Ans,tmp,mimi;

    matrix mul(matrix a,LL a1,matrix b,LL b1){
        matrix tmp;
        memset(tmp.x,0,sizeof(tmp.x));
        Rep(i,1,a1) Rep(j,1,b1) Rep(k,1,3)
            tmp.x[i][j] = (tmp.x[i][j]+a.x[i][k]*b.x[k][j])%p;
        return tmp;
    }

    matrix power(matrix a,matrix b,LL n){
        matrix ans = a,tmp = b;
        for(LL i=n-1;i;i>>=1){
            if(i & 1) ans = mul(ans,1,tmp,3);
            tmp = mul(tmp,3,tmp,3);
        }   
        return ans;
    }
}

int main(){
    using namespace matrix_mul;
    scanf("%d",&T);
    Ans.x[1][1]=Ans.x[1][2]=Ans.x[1][3]=1;
    tmp.x[1][1]=tmp.x[1][2]=tmp.x[1][3]=tmp.x[2][2]=tmp.x[2][3]=tmp.x[3][1]=tmp.x[3][2]=1;
    tmp.x[2][1]=0;tmp.x[3][3]=2;
    while( T-- ){
        scanf("%lld",&n);
        if(n%3==0)
            mimi = power(Ans,tmp,n/3);
        else
            mimi = power(Ans,tmp,n/3+1);
        printf("%lld\n",n%3==0? mimi.x[1][3]:mimi.x[1][n%3]);
    }
    return 0;
}