最长不下降子序列&最长上升子序列(n^2 nlogn)

本文介绍了一种求解最长不下降子序列问题的算法实现。通过动态规划的方法,逐个比较序列中的元素,更新最长子序列的长度,最终输出最长不下降子序列的长度。该算法适用于计算机科学中的数据结构与算法课程的学习。

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最长不下降子序列:

样例输入:

5

1 3 1 2 2

样例输出:

4

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
int a[5005];
int f[5005];
int main(){
	while(cin>>n){
		for(int i=1;i<=n;i++){
			cin>>a[i];
			f[i]=1;//初始化最长非下降子序列长度最小值为1
		}
		int ans=0;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			for(int j=1;j<i;j++){
				if(a[i]>=a[j]&&f[j]+1>f[i]){//i之前(即j)有多个数比i小时需要取其中最大的f[i]
					f[i]=f[j]+1;
				}
			}
			//取最大值
			if(f[i]>ans){
				ans=f[i];
			}
		}
		/*sort(f,f+n+1);
		cout<<f[n]<<endl;*/
		cout<<ans<<endl;
	}
	return 0;
}



### 最长下降子序列 O(nlogn) 算法实现与解释 #### 一、算法原理 最长下降子序列(LDS, Longest Decreasing Subsequence),类似于最长上升子序列,可以通过动态规划加二分查找的方法,在O(n log n)的时间复杂度下解决。核心在于维护一个列表`d`,其中存储着可能成为最终LDS一部分的最小结尾元素。每当遇到一个新的数时,如果它小于`d`中的最后一个元素,则更新`d`;否则通过二分查找找到其应在位置并替换之。 #### 二、具体步骤说明 - 初始化一个空的结果数组 `f` 和变量 `len` 表示当前已知的最大长度。 - 遍历输入序列中的每一个数字: - 使用C++标准库函数`lower_bound()`寻找第一个大于等于该数字的位置。 - 如果此位置位于现有记录之外,则扩展结果集;反之则用新数值替代旧值以保持潜在解空间最优性。 上述过程确保了每次迭代都能维持住“尽可能短”的递减路径特性,从而使得最后得到的答案既满足条件又具有最大长度[^1]。 #### 三、代码实例 下面是采用 C++ 编写的完整程序: ```cpp #include <iostream> #include <vector> #include<algorithm> using namespace std; int main(){ int n; cin >> n; vector<int> nums(n+1), f(n+1); for(int i = 1; i <= n; ++i){ cin >> nums[i]; } int len = 0; f[++len] = nums[1]; for (int i = 2; i <= n; ++i) { // 寻找nums[i]应该放置的位置 auto pos = upper_bound(f + 1, f + len + 1, nums[i], greater<int>()) - f; if (pos == len + 1) { f[++len] = nums[i]; } else { f[pos] = nums[i]; } } cout << "Length of LDS is: " << len << "\n\n"; } ``` 这段代码实现了对给定整数序列求解其最长严格递减子序列的功能,并输出对应的长度。注意这里使用了`upper_bound`配合自定义比较器`greater<int>()`来适应于寻找降序排列下的插入点[^4]。
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