【HNOI2016】序列

题意

给定长度为$n$的序列：$a_1, a_2,...,a_n$，$q$个询问，每个询问给一个区间，询问该区间的不同子序列的最小值之和。
$n,q\le10^5$

解法

$~~~~$Philips Weng大神（%%%）用一个线段树存8个值的$nlog_2{n}$做法过了，但我这里介绍一个$n\sqrt{n}$的莫队算法（T3也是莫队，D1T1也是分块，这是有多喜欢$\sqrt{n}$？）。
$~~~~$我们假设当前求出了区间$[l,r]$的答案，现在要求$[l,r+1]$相对于$[l,r]$增加的答案（$[l,r-1]$的答案可以用原答案减去$[l,r]$相对于$[l,r-1]$增加的答案）。
$~~~~$新增的答案为$\sum_{i = l}^{r + 1}min(i,r+1)$，$min(i,r+1)$表示区间$[i,r+1]$中的最小值。有一个暴力的想法，维护一个从左至右单调递增的栈，然后扫一遍栈，算出贡献。但是每次构一次栈显然是不能接受的。
$~~~~$于是我们可以预处理出一个从$1$开始的栈，当做到一个位置$i$时，栈中它底下一个的位置为序列中它左边第一个小于它的位置。此时的栈为$1$到$i$的一个单调递增序列，此时的贡献也很好统计，我们记为$sum[i]$（因为总贡献为相邻元素的贡献之和，所以它相当于栈中元素的贡献前缀和）。
$~~~~$回到刚刚的问题，我们可以找到$[l,r+1]$中最小值的位置$pos$，对于$i\in[l,pos]$,它们对增量的贡献为$a[pos]$；而对于$i\in[pos+1,r + 1]$，我们相当于要跟原来一样构一个单调栈算一下贡献，但是我们发现，这个单调栈是我们预处理出的 到$r+1$的前缀单调栈的， 开头为$pos$的“后缀”。这个是显然的，因为$a[pos]$是该区间的最小值，所以$pos$一定会出现在到$r+1$的前缀单调栈中。所以这部分的贡献$=sum[r+1] - sum[pos]$。总贡献为$(pos-l+1) * a[pos]+sum[r+1]-sum[pos]$。我们只要知道区间最小值的位置就能$O(1)$求出答案增量了，而这个就是经典的$RMQ$了。
$~~~~$对于求$[l-1,r]$的增量也是相同的，只需求个倒序的单调栈即可。