【Codechef】Tiptoe through the tulips

题面描述

$~~~~$Cherry 在散步时偶然发现了种满了魔力郁金香的花园。这座花园可以描述为 $N$ 个节点和$N − 1 条$道路，节点编号为 $1$ ∼ $N$。道路 $i$链接两个节点 $u_i$ 和 $v_i$，其长度为 $L_i$。从任意节点开始，沿道路行走，都能走到所有节点。

$~~~~$魔力郁金香喜欢独自生长，不被打扰。因此，每个节点都恰有一株郁金香生长。在郁金香成熟后，它就不会凋零。一株成熟的郁金香被采摘后，就会有另一株开始生长。郁金香需从开始生长到成熟需要$X$ 天。

$~~~~$有时，Cherry 会在散步途中经过花园，为她的挚爱 Jimma 摘几株郁金香。Cherry 如果连着走太久就会无聊，因此在第 $d_j$ 天，她会从节点 $u_j$ 出发，并且只会走过长度不超过 $k_j$ 的道路。如果有节点可以从 $u_j$ 只经过长度不超过 $k_j$ 的道路到达，Cherry 就一定会到这个节点去转一圈。如果在这些节点有着成熟的郁金香，Cheery 就会把它摘下。但她也可能经过一些节点，其中还没有成熟的郁金香。这些正在生长的郁金香会因为有人到来而沮丧凋零。也就是说，如果 Cherry 在第$d_j$ 天到了有没成熟的郁金香的节点，而且直到第 $d_j + X$ 天为止再也不到这个节点去，那么这一节点的郁金香才会成熟。在第 $d_1$ 天时，所有节点都有一株成熟的郁金香。

$~~~~$Cherry 没有上过学，不是很擅长数数。所以她想知道每次能采摘多少株郁金香。请你帮帮她。

分析

$~~~~$其实原图只是一个无向图也能做。

$~~~~$如果$X=0$(即询问间独立)，我们很容易想到离线做法，把边和询问从小到大排序，对每个询问只考虑长度满足限制的边，用一个并查集维护即可。

$~~~~$现在询问间有影响，看起来似乎麻烦了点，但我们可以沿着原来的思路继续想下去。我们仍然把边从小到大排序，像做最小生成树那样维护并查集，但是这里我们合并两个节点时，并不是把一个点的父亲设为另一个点，而是新开一个点，把原来两个点的父亲设为这个新点。同时，我们赋予点点权，这个新的点为当前加入边的长度，而原来的那$n$个点的点权为$0$。这样做完之后，我们发现，这个并查集构成了一棵树，且这个树显然有一个性质：父亲节点的点权不小于后代节点的点权。

$~~~~$现在考虑处理询问。对于每个询问，我们用倍增找到$u_j$的一个深度最小的祖先$v$，满足$v$的点权小于等于$k_j$。那么这次询问中，$u_j$能到达的节点就是以$v$为根的子树中的所有叶子节点。但是这里的叶子节点要除去被之前询问覆盖的。

$~~~~$我们考虑如何计算有多少叶子节点被之前的询问影响。先对并查集弄出来的树求一个dfs序，那么每个点管辖的叶子节点是一个连续的区间。对于一个询问，我们在处理完询问后将它能到达的位置全部$+1$，在第$d_j+X$天给它们全部$-1$。那么每次询问，我们相当于要知道当前序列一个区间中有多少个位置为，这两个操作我们可以简单地用线段树维护。这样这题就愉快地解决了。