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宇宙的原则是“重复但是有变化”。从直觉上理解，虽然每一个素数不断重复，能够覆盖大量更大的数，但是毕竟是乘法，跳跃性比较大，会留下空隙，这些空隙就是新的素数。正因为每一个素数的不可代替性，算术基本定理的“唯一”就显而易见了：任何一个大于1的自然数N，如果N不为素数，那么N可以唯一分解成有限个素数的乘积。乘法是重要的，不仅仅在于它是一种高效的计算方法，更在于它是数的延伸。素数被认为是自然数的基础，就像自然界的原子一样，可以通过若干个素数的乘积表示所有大于1的自然数，而且这种表示是唯一的（不考虑素数的顺序）。

两个整数的比可以理解为停留在一维空间，因为无论是分子还是分母都是一维空间的值，而一旦有更高维的“长度”，就可能超出一维空间的表示能力。例如 √2 可以理解为正方形的对角线，是二维空间的“长度”，如果要映射到一维空间则不能完美映射。当然，不是所有的更高维的“长度”都会遇到这个问题，更高维的“长度”也可能能够完全映射，例如“勾三股四弦五”的“五”。更高维的“长度”映射到一维，可能出现映射不完全的情况。无理数是那些不能表示为两个整数的比的数，其小数部分是无限不循环的，常见的无理数有 π、√2 等。

如果哈代是错的，那么拉马努金使用的是一种未知的思考方式，通过某种自然而然的推理就能够得出这个公式，而不是像我们目前的数学使用非常繁琐、落后的方式去理解它。上面那个公式直到现代才由数学家用当时还不存在的数学工具进行了证明，按照哈代的观点，拉马努金也是用类似的方式得出了这个公式，只是他是在梦中（或者说潜意识中）进行的，他自己忘记了推导过程。拉马努金（Ramanujan，1887-1920）是数学史上的一个奇迹，他留下了数千条令人惊叹的公式，这些公式有很大一部分已经被证明是正确的，而且已经有了广泛的应用。

因为把日期拆开是1、1、2、3，是斐波那契数列的前4个数。

为了避免这种情况，当然可以选择因子很多、每个因子很大的合数，但是这对欧拉函数的计算量提升不说，已经和直接用素数没有太大区别了。但是如果选择合数，计算欧拉函数就需要非常大的计算量了，首先需要获得n的标准分解式，再用欧拉函数的公式计算。这其实是错误的回答，因为在公钥和私钥都确定的情况下，解密方法是唯一的，即使这个大数不是两个素数相乘产生的。然后，至于合数的可能的组合更多，的确，但是要考虑一个问题，就是合数可能被恰好分解为少数几个小素数的乘积，这时就成了排列组合问题，分解难度大大下降，这时可谓是得不偿失。

宇宙中的事物都是宇宙的化身，宇宙将自己分为一个个事物，虽然每个事物都不是完整的宇宙，但总体而言，宇宙被更广泛、更充分地保存和传播了。显然，同为宇宙化身的各个事物，一定存在着一些共同点，这些共同点被总结之后就成为了规律，能够由宇宙中的智能体合理地运用，从而更好地实现宇宙的目的。当然，数本身就是一种描述规律的工具，但反映的只是数量的规律，而不是事物本身的规律。二是事物之间存在着相同的性质，如果宇宙的事物都是完全不同的，那么所有事物都是“1个”，数就没有存在的意义了。数是对事物的一种抽象。数不能脱离事物存在。

这似乎涉及到数学是发明还是发现的问题——如果是发明，那么肯定有改进的空间；如果是发现，那它就是事实本身，不能再简化。然而，即使数学是发现，也会有不同的理解方式，就像同一个物理现象有不同的解释一样。如果当今的数学不是最优的理解方式，那么很可能会出现一次革命性简化，这会以什么方式出现？是当数学发展到一定阶段，人类对数学的繁琐忍无可忍，最终诞生一位“哥白尼”？还是一位没有受过目前的数学教育的数学天才，自我推导出一种全新的数学？或者是人工智能发展到一定阶段，自我领悟出了数学的真谛？甚至于，人类遇到外星文明，发现它们