CodeM美团点评编程大赛复赛 配对游戏 概率（期望）DP

配对游戏

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有 n 个人排成一排，一开始全部面向前方，然后大家一起转身，随机朝左或是朝右转。
转身后，不断检查队列，如果存在两个面对面的相邻的人，则将这两个人从队列中消除；直到不存在两个面对面的相邻的人。
例如 > 表示向右， < 表示向左
队列“>>><<<”的消除过程为，“>>><<<”到“>><<”到“><”到“”（每次去除一对），最后剩下人数为0。
队列“>><><<<>”的消除过程为，“>><><<<>”到“>><<<>”到“><<>”到“<>”（每次去除一对)，最后剩下人数为2
求最后剩下人数的期望值。 

输入描述:

一行一个正整数 n (1 ≤ n ≤ 2000)。

输出描述:

一行一个实数，表示剩下人数的期望值，四舍五入保留三位小数。

输入例子1:

10

输出例子1:

4.168

官方题解：

一开始思考了好久也没明白  这个转移方程中为什么g[i][j]不除以2，后来恍然大悟，因为我们在添上一个向左的人后，是一次性消去两个人，这里相当于 g[i][j] * 2 / 2 再加到期望消除人数上，也就等于g[i][j]。（g[i][j] * 2是因为消去两个人， / 2是因为只有一半的概率转移到这种状态（添加向左的人））

其他的转移还是蛮好明白的，还有就是注意j为0的时候即使添加上一个向左的人也没法消去。

这里推荐另一个很好的解题思路，也很巧妙并且容易理解：点击打开链接

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define pi acos(-1)
#define inf 0x3f3f3f3f
#define lson l,mid,rt<<1
#define rson mid+1,r,rt<<1|1
#define rep(i,x,n) for(int i=x;i<n;i++)
#define per(i,n,x) for(int i=n;i>=x;i--)
using namespace std;
typedef pair<int,int>P;
const int MAXN=100010;
int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;}
double f[2100][2100];
double g[2100][2100];
int main()
{
	int n;
	cin >> n;
	g[0][0] = 1;
	for(int i = 0; i <= n; i++)
	{
		for(int j = 0; j <= i; j++)
		{
			if(j)
			{
				g[i + 1][j + 1] += g[i][j] * 0.5;
				g[i + 1][j - 1] += g[i][j] * 0.5;
				f[i + 1][j + 1] += f[i][j] * 0.5;
				f[i + 1][j - 1] += f[i][j] * 0.5 + g[i][j] * 2 * 0.5;
			}
			else
			{
				g[i + 1][j + 1] += g[i][j] * 0.5;
				g[i + 1][j] += g[i][j] * 0.5;
				f[i + 1][j + 1] += f[i][j] * 0.5;
				f[i + 1][j] += f[i][j] * 0.5;
			}
		}
	}
	double ans = n;
	for(int i = 0; i <= n; i++)
	{
		ans -= f[n][i];
	}
	cout << fixed << setprecision(3) << ans << endl;
 	return 0;
}