Codeforces 822 D. My pretty girl Noora 数学+dp

最新推荐文章于 2018-02-14 13:42:06 发布

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本文介绍了一道编程竞赛题目Codeforces822D的解决方案，通过使用欧拉筛法预先处理出每个数的最小质因子，并利用动态规划求解每轮比赛所需比较次数的最小值。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

传送门：Codeforces 822D

题意：一场比赛有N个人，可以分成N/x,每组x人。每组的比较次数为x（x-1）/2，每组最后胜出一个人进行下一轮比赛，直到最后只剩一个人，f[N]为最后决出冠军所需的比较次数，可以通过改变x的值使f[N]改变。题目给出t,l,r。求

思路:想到了每组内的人数越少越好（应该是总人数的最小因子），但是没想到是最小质因子。。然后就gg了。

正解：先预处理出1e6以内每个数的最小质因子，这里有个新get的技能叫欧拉筛，复杂度为o(n)，可以用来找素数也可以用来找最小质因子，好像还有其他高级应用。（这个筛法简直完爆埃氏筛法啊。。）

然后就是如何求f（n）了，这明显是个递推的过程，我们可以用dp求解 f(n)=(n/x)f(x)+f(n/x).

其中x为n的最小质因数，这时我们可以直接用x（x-1）/2求出比较次数。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define pi acos(-1)
#define MAXN 100010*50
#define inf 0x3f3f3f3f
const int mod=1e9+7;
using namespace std;
typedef pair<int,int>P;
ll dp[MAXN];
int fac[MAXN],p[MAXN];
void init()//欧拉筛
{
	int cnt=0;
	for(int i=2;i<MAXN;i++)
	{
		if(!fac[i])
		p[cnt++]=fac[i]=i;
		for(int j=0;j<cnt&&i*p[j]<MAXN;j++)
		{
			fac[i*p[j]]=p[j];
			if(i%p[j]==0)break;//复杂度比埃氏筛法低的关键
		}
	}
 } 
int main()
{
	init();
	int t,l,r;
	cin>>t>>l>>r;
	for(int i=2;i<=r;i++)
	{
		dp[i]=(1ll*i/fac[i]*(fac[i]-1)*fac[i])/2+dp[i/fac[i]];//每组fac[i]个
		dp[i]%=mod;
		//cout<<dp[i]<<" "; 
	}
	ll ans=0,k=1;
	for(int i=l;i<=r;i++)
	{
		ans+=k*dp[i];
		k*=t;
		ans%=mod;
		k%=mod;
	}
	cout<<ans;
    return 0;
}