Codeforces Round #334 E. Lieges of Legendre （组合游戏）

最新推荐文章于 2019-07-30 22:30:12 发布

TaoSama

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分类专栏：博弈 - 组合游戏文章标签：组合游戏

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/lwt36/article/details/50155393

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本文探讨了一种特定的组合游戏中获胜策略的问题，该游戏包含两种基本操作：从任意一堆中移除一个元素，或将某个含有2x个元素的堆转换为k堆各含x个元素的形式。通过对游戏状态的深入分析，文章揭示了如何根据参数k的奇偶性来确定游戏的Sprague-Grundy函数值，并通过归纳法证明了这一结论。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意:

$给定n, k \leq 10^9, 然后组合游戏的规则, 不同的是只有2种操作$
$1. 任选1堆拿走一个, 2.选一个2x个数堆变成k堆x个的$
$问谁赢$

分析:

$只看第二种操作, 发现k分奇偶$
$奇数的话sg(2x) = \underbrace{sg(x)\oplus sg(x) \cdots \oplus sg(x)}_{k\ times} = sg(x)$
$偶数的话sg(2x) = \underbrace{sg(x)\oplus sg(x) \cdots \oplus sg(x)}_{k\ times} = 0$
$n,k这么大显然打表找规律了$
$根据这个打个表发现很有规律, 除了前几项$

k->odd
i :  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
sg:  0  1  0  1  2  0  2  0  1  0  1  0  1  0  1  0  2  0  1  0  2
k->even
i :   0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
sg:  0  1  2  0  1  0  1  0  1  0  1  0  1  0  1  0  1  0  1  0  1

$k奇数是前5项没规律, 然后后面的奇数项都是0, 偶数项不是1就是2$
$k偶数前3项没规律, 然后后面的奇数项都是1, 偶数项都是0$
$证明也很简单, induction就好了$

代码:

//
//  Created by TaoSama on 2015-12-02
//  Copyright (c) 2015 TaoSama. All rights reserved.
//
//#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iomanip>
#include <iostream>
#include <map>
#include <queue>
#include <string>
#include <set>
#include <vector>

using namespace std;
#define pr(x) cout << #x << " = " << x << "  "
#define prln(x) cout << #x << " = " << x << endl
const int N = 1e5 + 10, INF = 0x3f3f3f3f, MOD = 1e9 + 7;

int n, k;

/*
  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
  0  1  0  1  2  0  2  0  1  0  1  0  1  0  1  0  2  0  1  0  2

  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
  0  1  2  0  1  0  1  0  1  0  1  0  1  0  1  0  1  0  1  0  1
*/

int odd[5] = {0, 1, 0, 1, 2}, even[3] = {0, 1, 2};

int getSg(int x) {
    if(k & 1) {
        if(x < 5) return odd[x];
        if(x & 1) return 0;
        return getSg(x >> 1) == 1 ? 2 : 1;
    } else {
        if(x < 3) return even[x];
        return (x & 1) ^ 1;
    }
}

int main() {
#ifdef LOCAL
    freopen("C:\\Users\\TaoSama\\Desktop\\in.txt", "r", stdin);
//  freopen("C:\\Users\\TaoSama\\Desktop\\out.txt","w",stdout);
#endif
    ios_base::sync_with_stdio(0);

    while(scanf("%d%d", &n, &k) == 2) {
        int ans = 0;
        for(int i = 1; i <= n; ++i) {
            int x; scanf("%d", &x);
            ans ^= getSg(x);
        }
        puts(ans ? "Kevin" : "Nicky");
    }
    return 0;
}

/*
int getSg(int x) {
    if(k & 1) {
        if(!x) return 0;
        if(~sg[x]) return sg[x];
        set<int> s;
        s.insert(getSg(x - 1));
        if(!(x & 1)) s.insert(getSg(x >> 1));
        for(int i = 0; ; ++i) if(!s.count(i)) return sg[x] = i;
    } else {
        if(!x) return 0;
        if(~sg[x]) return sg[x];
        set<int> s;
        s.insert(getSg(x - 1));
        if(!(x & 1)) s.insert(0);
        for(int i = 0; ; ++i) if(!s.count(i)) return sg[x] = i;
    }
}
*/