[ZJOI2018]线图 状态压缩Dp暴力+剪枝 树Hash

luogu4337 && bzoj5211 线图

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分析

可怜日常劝退题。
好久没有写这么硬核的题了。

手玩：人类的智慧

这道题的重点就在于手玩，玩着玩着才能玩出一些名堂来。

比如这张图。
$L(G)$

没啥可说的。
$L^2(G)$

观察二阶的图，发现图中的每一个点
稍微重标号一下下
$(1,2,3)->1,(2,3,4)->2,(1,2,4)->3,(2,4,5)->4$

$L3$

首先从一次变换来看：
1.点数变成边数。
2.$G$一条边$(u,v)$的在$L(G)$的度数为$d_u+d_v-2$
暂时，也只能挖掘这么多的性质。
从骗分的角度来看；
$L(G):$输出边数
$L^2(G):$每一个“弯折（$<u,v>,<v,w>$）”在$L(G)$中都是一条边。每个点$u$可以有$C_{d_u}^2$种“弯折”，所以$Ans(L^2(G))=\sum C_{d_u}^2$
$L^3(G):$看成$L^2(L(G))$，$L(G)$的每个点的度数是$d_u+d_v-2$
所以$Ans(L^3(G))={\sum }_m{C}_{d_u+d_v-2}^2$
$L^4(G):$问题有些棘手，仍然将其看成$L^3(L(G))$,不过我们不能再仅仅靠度数了，我们得挖掘一下图的形态。
首先换一个角度考虑$L^3(G)$
我们发现，$L^3(G)$的点数实际上是不同的三条边的联通子图个数（边有标号）。
那么一共有环、链和鸡爪三种形态，注意选边的顺序是有影响的。
鸡爪：$\sum 3C_{d_u}^3$
环和链：${\sum }_{(u,v)}(d_u-1)(d_v-1)$
再考虑$G\to L(G)$
原图上的某个点$u$和围着它的一圈边。这一圈边在$L(G)$上构成了一张完全导出子图，而反过来说，整张图就是由这一张张导出子图构成的。
因此计算$L(G)$的$(d_u-1)(d_v-1)$贡献时，任意一个完全子图的边两两匹配，每个点$u$的贡献就是$\frac{1}{2}(({\sum }_v{d}_u+d_v-2{)}^2-{\sum }_{(u,v)}(d_u+d_v-2{)}^2)$
令$d_1(u,v)=d_u+d_v-1,d_2(u)=\sum d_1(u,v)-1$
那么总贡献
$\frac{1}{2}{\sum }_u{d}_2(u{)}^2-{\sum }_{(u,v)}(d_1(u,v))$
后面的$\frac{1}{2}$不见了是因为每条边在两个点处各被减去了一次。
然后剩下的$\sum 3C_{d_u}^3={\sum }_{(u,v)}3C_{d_1(u,v)}^3$
加起来就好啦。

分析：问题的转化

至于更大的$K$,人类智慧就不太够用了。所以只能慢慢用$L$展开，大概可以得60pts+？
其实在推导的时候已经有了一些眉目，我们发现，$L^2(G)$中的点数和”弯折“对应，$L^3(G)$中的点数和三条边的联通子图对应，那么$L^k(G)$中的点数和不超过k条边的联通子图一一对应
考虑暴力搜索出所有点数的不超过$k+1$的有根树（k=9的时候只有1205种），用这些有根树去匹配原树。
假设有$T$棵树那么答案就是
${\sum }_T{w}_i{t}_i$
$w_i$是这棵树变换之后的点数，$t_i$是这棵树在原树中的出现次数。
$w_i$用人类智慧+暴力变换可以搞出来。复杂度$O(能过)$
$t_i$实际上是一个有根树的匹配问题，采用状态压缩Dp

状态压缩Dp

$f_{i,j}$表示原树上的$i$子树匹配$T$的$j$子树的方案数。
方程。
考虑子树合并，合并的时候用一个$g_S$数组表示$j$子树的儿子们的匹配情况为$S$的方案数，枚举当前节点用哪一个子树匹配。
$g_S=\sum g_{S-p}{f}_{son,p}$
然后$f{’}_{i,j}=g_{all}$
这样其实还有一点问题。
有根树和有标号的树是不等价的，但是在状态压缩Dp的时候我们强行给儿子标号了。但实际上，如果两个儿子是本质相同的，匹配的相对顺序是不打紧的。具体地来说，如果有$x$组本质相同的儿子子树，每组的个数分别是$cn{t}_1,cn{t}_2\cdots cn{t}_x$，那么我们重复计数了${\prod }_i^{x}cn{t}_i!$次。
在树$Hash$处理出这个${\prod }_i^{x}cn{t}_i!$，然后计算完之后逆元乘上去即可。
有一个小小的常数优化，我们可以先挖掉所有的叶子节点，最后再把叶子节点放上去匹配。假设原树的当前儿子有$son$个，$T$子树的非叶子儿子有$p$个，叶子节点有$lf$个，那么贡献就是$C_{son-p}^{lf}lf!$
乘上那个$lf$阶乘是因为状态压缩Dp的部分是有标号儿子，之后转成无标号的操作在${\prod }_i^{x}cn{t}_i!$一步中除掉了。两部分分开写会比较清晰。

代码

真的硬核，肝了半天。

// luogu-judger-enable-o2
#include<bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define mp std::make_pair
const int N = 5e3 + 10, M = 1e5 + 10, P = 998244353;
typedef std::pair<int, int>pa;
int ri() {
	char c = getchar(); int x = 0, f = 1; for(;c < '0' || c > '9'; c = getchar()) if(c == '-') f = -1;
	for(;c >= '0' && c <= '9'; c = getchar()) x = (x << 1) + (x << 3) - '0' + c; return x * f;
}
int fix(int x) {return (x >> 31 & P) + x;}
int add(int a, int b) {return a += b, a >= P ? a - P : a;}
int mul(int a, int b) {return 1LL * a * b % P;}
int Pow(int x, int k) {
	int r = 1;
	for(;k; x = mul(x, x), k >>= 1)
		if(k & 1)
			r = mul(r, x);
	return r;
}
int bin[21], Lg[2049], cnt[2049], A[1 << 21], g[1 << 21], C[N][21];
int f[N][15], pr[N], to[N << 1], nx[N << 1], fac[21], tp, K, Ans, n, k;
void ins(int u, int v) {to[++tp] = v; nx[tp] = pr[u]; pr[u] = tp;}
void adds(int u, int v) {ins(u, v); ins(v, u);}
std::vector<pa>E;
struct Tree {
	int p[15], fa[15], lf[15], sz[15], same[15], st[30], k; bool all;
	std::vector<int>T[15];
	void Ins(int u, int f) {
		p[f] |= bin[u]; 
		fa[u] = f; 
		E.pb(mp(u, f));
		T[u].pb(f);
		T[f].pb(u);
	}
	void clear() {
		for(int i = 0;i < k; ++i)
			lf[i] = p[i] = 0, T[i].clear();
		E.clear();
	}
	int Build() {
		int u = 0, cnt = 0;
		for(int i = 1;i <= k - 1 << 1; ++i)
			if(!st[i]) {
				if(!u) return -1;
				u = fa[u];
			}
			else {
				Ins(++cnt, u);
				u = cnt;
				if(u >= k) return -1;
			}
		return cnt + 1;
	}
	std::string Uni(int u, int t, int fa) {
		if(all) sz[u] = 1;
		std::vector<std::string>x;
		for(int v : T[u])
			if((bin[v] & t) && v != fa) {
				x.pb(Uni(v, t, u));
				if(all) sz[u] += sz[v];
			}
		std::sort(x.begin(), x.end());
		std::string res = "";
		for(int i = 0;i < x.size(); ++i)
			res += '1' + x[i] + '0';
		if(all) {
			int cnt = 1; same[u] = 1;
			for(int i = 1;i < x.size(); ++i)
				if(x[i] == x[i - 1]) 
					++cnt;
				else
					same[u] = mul(same[u], fac[cnt]), cnt = 1;
			same[u] = Pow(mul(same[u], fac[cnt]), P - 2);
		}
		return res;
	}
	int Hash(std::string A) {
		int res = 0;
		for(int i = 0;i < A.size(); ++i)
			if(A[i] == '1')
				res |= bin[i];
		return res;
	}
	int Sub(int t) {
		std::string A = Uni(Lg[t&-t], t, -1);
		if(A.size() != cnt[t] - 1 << 1)
			return -1;
		return Hash(A);
	}
	void Dp(int u, int fa) {
		int son = 0;
		for(int i = pr[u]; i; i = nx[i])
			if(to[i] != fa)
				Dp(to[i], u), ++son;
		for(int rt = 0; rt < k; ++rt) {
			if(sz[rt] == 1) continue;
			if(son < cnt[p[rt]]) {
				f[u][rt] = 0;
				continue;
			}
			for(int k = p[rt]; k; k = (k - 1) & p[rt])
				g[k] = 0;
			g[0] = 1;
			for(int i = pr[u];i; i = nx[i]) {
				if(to[i] == fa) continue;
				for(int t = p[rt]; t; t = (t - 1) & p[rt])
					for(int u = t, lb; u; u ^= lb)
						lb = u&-u,
						g[t] = add(g[t], mul(g[t ^ lb], f[to[i]][Lg[lb]]));
			}
			f[u][rt] = mul(mul(g[p[rt]], same[rt]), C[son - cnt[p[rt]]][lf[rt]]);
		}
	}
	int Calct() {
		for(int i = 0;i < k; ++i)
			for(int t = p[i], lb; t; t ^= lb)
				if(sz[Lg[lb = t&-t]] == 1)
					++lf[i], p[i] ^= lb;
		Dp(1, 0); int ans = 0;
		for(int i = 1;i <= n; ++i)
			ans = add(ans, f[i][0]);
		return ans;
	}
}nw;
namespace Calcw {
	int d[M], d2[M]; std::vector<int>B[M];
	int c2(int x) {return (1LL * x *  (x - 1) >> 1) % P;}
	int c3(int x) {return mul(mul(x, x - 1), x - 2);}
	int sqr(int x) {return mul(x, x);}
	int Work(int n, int k) {
		int res = 0;
		if(k == 1) return E.size();
		for(int i = 0;i < n; ++i)
			d[i] = d2[i] = 0;
		for(pa p : E)
			++d[p.fi], ++d[p.se];
		if(k == 2) {
			for(int i = 0;i < n; ++i)
				res = add(res, c2(d[i]));
			return res;
		}
		if(k == 3) {
			for(pa p : E)
				res = add(res, c2(d[p.fi] + d[p.se] - 2));
			return res;
		}
		if(k == 4) {
			for(int i = 0;i < E.size(); ++i) {
				int u = E[i].fi, v = E[i].se;
				int d1 = d[u] + d[v] - 2;
				res = add(res, fix(c3(d1) - mul(sqr(d1 - 1), 2)));
				d2[u] = add(d2[u], d1 - 1);
				d2[v] = add(d2[v], d1 - 1);
			}
			for(int i = 0;i < n; ++i)
				res = add(res, sqr(d2[i]));
			return mul(res, P + 1 >> 1);
		}
		int cnt = 0;
		for(int i = 0;i < n; ++i)
			B[i].clear();
		for(pa p : E) {
			B[p.fi].pb(cnt);
			B[p.se].pb(cnt++);
		}
		E.clear();
		for(int i = 0;i < n; ++i)
			for(int j = 0;j < B[i].size(); ++j)
				for(int k = 0;k < j; ++k)
					E.pb(mp(B[i][j], B[i][k]));
		return Work(cnt, k - 1);
	}
}	
void Dfs(int x, int k) {
	if(x <= k - 1 << 1) {
		nw.st[x] = 0; Dfs(x + 1, k);
		nw.st[x] = 1; Dfs(x + 1, k);
		return ;
	}
	nw.k = k; nw.clear();
	if(nw.Build() != k) return ;
	nw.all = true;
	int s = nw.Hash(nw.Uni(0, bin[k] - 1, -1)), w;
	nw.all = false;
	if(~A[s]) return ;
	w = Calcw::Work(k, K);
	for(int t = 0, u;t < bin[k] - 1; ++t)
		if(~(u = nw.Sub(t)))
			w = fix(w - A[u]);
	A[s] = w;
	Ans = add(Ans, mul(w, nw.Calct()));
}
void Pre() {
	memset(A, -1, sizeof(A));
	bin[0] = 1;
	for(int i = 1;i <= 20; ++i) {
		bin[i] = bin[i - 1] << 1;
		if(i <= 11) Lg[bin[i]] = i;
	}
	for(int i = 0;i < 2048; ++i)
		cnt[i] = cnt[i >> 1] + (i & 1);
	for(int i = 0;i <= 5000; ++i) {
		C[i][0] = 1;
		for(int j = 1;j <= i && j <= 20; ++j)
			C[i][j] = add(C[i - 1][j], C[i - 1][j - 1]);
	}
	fac[0] = 1; 
	for(int i = 1;i <= 20; ++i) fac[i] = mul(fac[i - 1], i);
	for(int i = 0;i <= 5000; ++i)
		for(int j = 0;j <= 20; ++j)
			C[i][j] = mul(C[i][j], fac[j]);
}
int main() {
	Pre();
	n = ri(); K = ri();
	for(int i = 1;i < n; ++i)
		adds(ri(), ri());
	for(int i = 1;i <= K + 1; ++i)
		Dfs(1, i);
	printf("%d\n", Ans);
	return 0;
}
/*
5 5 
1 2 
2 3 
2 5
3 4
*/