仙人掌&圆方树学习笔记+简单应用

仙人掌&圆方树学习笔记

前言

一直觉得仙人掌和圆方树是非常高深的算法。
直到连续随机跳题跳到两道。我受不了啦！！！
于是点进了一个链接。（传销现场有木有啊！）

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然后发现并没有想象中那么难。
而且，，，
很好玩。
日常赛前学算法（大雾
退役之前还是多多益善一波吧，错过了可能就遇不上了！

定义:仙人掌

任意一条边至多在一个环里的无向联通图

定义:仙人掌的圆方树

• 仙人掌 $G=(V,E)$的圆方树$T=(V_T,E_T)$为满足以下条件的无向图:
  $V_T=R_T\cup S_T,R_T=V,R_T\cap S_T=\varnothing$,我们称$R_T$ 集合为圆点、$S_T$集合为方点
  $\forall e\in E$,若 $e$ 不在任何简单环中,则 $e\in E_T$
  对于每个仙人掌中的简单环 $R$,存在方点$p_R\in S_T$ ,并且 $\forall p\in R$满足$(p_R,p)\in E_T$ ,即对每个环建方点连所有点

严格的定义总是格外地难懂啊。
简单地说，把除了环上的所有边保留。对于每个环，新建一个方点，把所有环上的点与这个方点连边，删除原有的环上的边。

如何证明圆方树是一棵树？
首先显然，它仍然联通。
其次，对于每个环，新建的边数等于删除的边数，点数多了一个。
所以最后一定是一棵树。

圆方树的构造与性质

构造就是$Tarjan$缩环啊。
性质：

• 方点不会和方点连边。（不然就有一条边在两个环里了）
• 圆方数是一颗无根树，无论以仙人掌的哪个根构建出来的圆方树都是一样地，进一步地，仙人掌的圆方树和仙人掌是一一对应的。
• 定义以$r$为根的仙人掌的$p$子仙人掌为除去$p$到$r$的所有简单路径后，$p$所在联通块，则$p$子仙人掌对应圆方树就是$r$的圆方树上以$p$为根的子树。

最后一条性质看上去很拗口。实际上，它想表达的意思是，仙人掌并不改变原图任意两点之间的连通性。这里的连通性包括路径信息，连边情况等。

简单圆方树问题

例1：bzoj4316: 小C的独立集

题目大意：给定一个仙人掌，求最大独立集。
这道题其实并不需要真正建立出圆方树。只需要在$Tarjan$的时候把环的情况处理一下。
具体地，对于树边，照常转移。直接跳过环。然后在环上合并子树的信息。唯一不同的是如果当前子仙人掌的根要选，那么环上和根相邻的两个节点都不能选（处理方法和基环树类似）。

#include<bits/stdc++.h>
const int M = 130000, N = 55000;
int