仙人掌问题（圆方树）

【算法简介】

仙人掌就是把树上多连了一些返祖边，构成了一些环

根据仙人掌这个名字我们也可以较为形象的感受到图的形态

具体的，仙人掌分为点仙人掌和边仙人掌，定义分别为点/边最多属于一个环

 

之所以把这样的图形单独拿出来处理，就是因为它和树较为类似，有一些好的性质（相较一般图）

我们常用的处理办法是建立圆方树后，把原图转换为一个树进行计算

 

圆方树建立方法：

我们称原来图上的点为圆点，对于一个点双，我们把这个环上的边断开，新建立一个方点，把这个点双内所有的圆形点与方点相连，这样就构成了一个圆方树

根据仙人掌的性质，我们可以得到没有两个方点相连，特别的，如果对于一般的无向图建立圆方树，那么新树的所有边都是圆点和方点之间的

在建立好这样一个树之后，我们常见的操作是在圆方树上dp，点分治等等

一般来说，可以先考虑在普通树上如何处理，再特殊考虑方点的特殊性即可

 

【例题1】求仙人掌的最大独立集 BZOJ 4316.小C的独立集

sol.

【例题2】求仙人掌直径 BZOJ1023. [SHOI2008]cactus仙人掌图

sol.

【例题3】仙人掌两点间的最短路 BZOJ2125. 最短路

sol.

 

广义圆方树

【例题4】带修改，求无向图中两点之间所有简单路径上的最小权值

sol.