CF76E Points 题解

优化算法：计算n点间距离平方和的高效方法

最新推荐文章于 2025-11-24 17:02:03 发布

原创最新推荐文章于 2025-11-24 17:02:03 发布 · 99 阅读

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#算法 #c++

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本文介绍了一道关于计算n个点之间距离平方和的数学问题，原始方法时间复杂度为O(n^2)，通过化简公式，将复杂度降低。给出了C++代码实现，包括结构体和优化后的初始化函数。

题目大意

给出 $n$ 个点的坐标 $x$ 和 $y$ ，让你求出各个点的距离的平方和。

解法

两点距离公式： $(x1−x2)2+(y1−y2)2\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$ 。

本题是一道数学题，第一反应是枚举 $∑i=1n∑j=i+1n(x1−x2)2+(y1−y2)2\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=i+1}^n (x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2$ ，时间复杂度为 $O(n^2)$ （跑不满），会超时，所以我们要对原式进行化简。

化简得 $\times \sum\limits_{i=1}^n (x_i^2 + y_i^2)-2 \times (\sum\limits_{i=1}^{n-1}x_i \times \sum\limits_{j=i+1}^n x_j + \sum\limits_{i=1}^{n-1}y_i \times \sum\limits_{j=i+1}^n y_j)$ 。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,ans1,sum1,sum2,ans2;
struct node
{
	int x,y;
	node()
	{
		x=0,y=0;
	}
	void init1()
	{
		ans1+=(long long)(x*x*(n-1))+(long long)(y*y*(n-1));
		sum1+=x,sum2+=y;
	}
	void init2(int xx,int yy)
	{
		ans2+=2*x*sum1+2*y*sum2,sum1-=xx,sum2-=yy;
	}
};
node a[100010];
int main()
{
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i].x>>a[i].y,a[i].init1();
	sum1-=a[1].x,sum2-=a[1].y;
	for(int i=1;i<n;i++) a[i].init2(a[i+1].x,a[i+1].y);
	cout<<ans1-ans2;
	return 0;
}