SP5271 XOINC - A Coin Game 题解

SP5271 XOINC - A Coin Game 题解

非常好奶牛，使我的硬币旋转。

解法

由于两个奶牛都使用最优策略，故在每次取硬币的时候，两个奶牛的先后手关系会改变一次。这是我们可以状态转移的原理。

我们设 $f_{i,j}$ 表示还剩下 $i$ 枚硬币，上一次对手取了 $j$ 枚硬币，自己最多可以取多少钱。

显然我们可以取硬币的枚数为 $[1,2j]$。不难列出转移方程 $f_{i,j}=su{f}_i-\underset{1\le k\le \min (i,2j)}{\min }{f}_{i-k,k}$，其中 $su{f}_i$ 表示后 $i$ 枚硬币的后缀和，时间复杂度 $\mathcal{O}(n^3)$，无法通过。

考虑如何优化转移，观察到 $f_{i,j}$ 和 $f_{i,j-1}$ 转移的区别，只多了两种 $k=2j$ 和 $k=2j-1$ 的转移，故我们不枚举 $k$，而选择枚举 $j$ 的时候每次多两种转移即可，时间复杂度 $\mathcal{O}(n^2)$，轻松通过。

代码

#include<bits/stdc++.h>
namespace fast_IO
{
    /**
     * 没啥用的快读快写
    */
};
using namespace fast_IO;
int n,a[2010],f[2010][2010];
int main()
{
    in>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) in>>a[i];
    for(int i=n;i;i--) a[i]+=a[i+1];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            f[i][j]=f[i][j-1];
            if(i>=2*j-1) f[i][j]=std::max(f[i][j],a[n-i+1]-f[i-2*j+1][2*j-1]);
            if(i>=2*j) f[i][j]=std::max(f[i][j],a[n-i+1]-f[i-2*j][2*j]);
        }
    std::cout<<f[n][1];
    fwrite(Ouf,1,p3-Ouf,stdout),fflush(stdout);
    return 0;
}